Лекція 10. Тема: Корені многочлена.

План.

1. Ділення многочлена на двочлен х-а. Схема Горнера.

2. Корені многочлена. Кратні корені.

3. Похідна многочлена.

4. Теорема про кратні множники многочлена.

5. Теорема про спряжені корені.

6. Відокремлення кратних множників многочлена.

Короткий зміст лекції.

Схема Горнера ділення многочлена f(x) на двочлен х-а.

Нехай f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀.

g(x) = x-a.

За теоремою про ділення з остачею маємо:

(*) f(x) = (x-a) q(x)+r(x), r(x) = 0 або r 0.

Q(x) = b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀.

Рівність (*) запишемо у вигляді таблиці,

	an	an-1	an-2	…	a1	a0
	bn-1 = an	bn-2= bn-1+an-1	bn-3= bn-1+an-1		b0= b1+a1	r= b0+a0

яка називається схемою Горнера ділення многочлена f(x) на двочлен х-а.

Означення 1. Число називається коренем многочлена f(x), якщо він при х = дорівнює нулю, тобто f( ) = 0.

Означення 2. Число називається кратним коренем многочлена f(x), (k>1), якщо f(x) ділиться на многочлен (х- )^k, але не ділиться на многочлен (х- )^k+1 (при k = 1 корінь називається простим).

Означення 3. Похідною многочлена f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ називають многочлен f^’(x) = na_nx^n-1+(n-1)a_n-1x^n-2+…+2a₂x+a₁.

Похідна многочлена нульового степеня і нуль-многочлена дорівнює нулю. Якщо поле Р має характеристику нуль, то для кожного многочлена f(x) P[x] такого, що степінь f(x) 1, виконується рівність: степінь f^’(x) = степеню f-1.

Означення 4. Елемент Р називається коренем многочлена f(x) P[x], якщо f(x) ділиться на х- .

Означення 1) і 4) рівносильні.

Для того, щоб елемент а Р характеристики нуль був коренем кратності K для многочлена f(x) P[x] необхідно і достатньо, щоб

f(a) = f^’(a) = … =f^k-1(a); f^(k)(a) 0.

Якщо а Р – корінь кратності k>1 многочлена f(x) P[x],то він є коренем кратності (k-1) многочлена f^’(x).

Многочлен f(x) має корінь кратності k>1 тоді і тільки тоді, коли (f, f^’) = 1.

Теорема про спряжені корені многочлена. Якщо комплексне число є коренем многочлена f(x) з дійсними коефіцієнтами, то коренем для f(x) буде і спряжене число .

Відокремлення кратних множників:

Кожний многочлен f над полем Р можна представити у вигляді

,

де Ф_i – добуток тих многочленів, кратність яких в f дорівнює i.

Якщо f кратних множників немає, то

F = Ф₁,

;

де не ділиться на .

Знаходимо НСД многочленів f і f^’:

d₁ = d(f, f^’) =

Знаходимо і т. д.

Одержуємо рівності:

;

d₁ = ;

d₂ =

…………….

d_m-2 =

d_m-1 =

d_m = 1

Для знаходження Ф_i i = 1,2,3,…,m побудуємо многочлени:

Q₁ = = ,

Q₂ = = ,

Q₃ = = ,

……………

q_m-1 = = ,

q_m = = .

звідси,

= ; = ; ... ; = q_m.

Теорема. Будь-який многочлен f(x) степеня n над полем комплексних чисел С має n коренів з урахуванням їх кратності.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Які задачі можна розв’язувати, застосовуючи схему Горнера?

2. Що називається коренем многочлена?

3. Доведіть, що х = а тоді і тільки тоді є коренем многочлена f(x), якщо f(x) ділиться на (х-а).

4. Вивести формулу Тейлора для мночлена над будь-яким полем Р.

5. Як використовується схема Горнера для розкладу многочлена за формулою Тейлора?

6. Який корінь многочлена називається кратним?

7. Як визначається кратність кореня?

8. Як відокремити кратні корені многочлена?

9. Яку найбільшу кількість коренів може мати многочлен n-го степеня?

Література: [4], гл. V, 23; [1], гл. 10, 49; [10], гл. 3, 1.1; 1.2; [2], гл. 6, 1.