15. Анализ электрических цепей постоянного тока методом контурных токов.
Метод контурных токов — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.
Контурный ток – это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.
Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков, звеньев) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м правилами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.
Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов.
Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У–1 уравнений для узлов означает, что зависимы У–1 токов. Если выделить в цепи Р–У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р–У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов.
Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.
Сопротивления ветвей, входящих в два смежных контура, называются сопротивлениями контуров.
Алгебраическая сумма ЭДС данного контура называется контурной ЭДС.
Порядок составления уравнения с контурными токами:
В заданной схеме следует выбирают направления токов в ветвях (произвольно)
Намечают независимые контуры и выбирают направление контурных токов, например по часовой стрелке.
Определяют контурные ЭДС, собственные и общие сопротивления контуров, обходя контуры в направлении контурных токов.
Записывают систему уравнений; в левой части их слагаемые с собственными сопротивлениями контуров берут со знаком плюс, а слагаемые с общими сопротивлениями – со знаком минус
16. Анализ электрических цепей постоянного тока методом узловых напряжений.
Метод узловых напряжений состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путем решения уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, куда в качестве неизвестных входят напряжения между узлами цепи. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до величины: (k-1), где k - количество узлов сложной электрической цепи. Данный метод целесообразно использовать, когда l>2(k - 1), где l - количество ветвей сложной электрической цепи.
Узловыми напряжениями называют напряжения между каждым из (k-1) узлов и одним произвольно выбранным опорным узлом. Потенциал опорного узла принимается равным нулю. На схеме такой узел обычно отображают как заземленный.
Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы по отношению к опорному узлу. Далее находят токи всех ветвей схемы с помощью закона Ома.
Формула узлового напряжения:
Узловой проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу.
Общей проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла.
Порядок составления уравнений с узловым напряжением:
В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно). Если по условию источники энергии заданы как источники ЭДС (напряжения), переходят к эквивалентным схемам источников тока.
Намечают базисный узел и все независимые узлы и выбирают положительные направления узловых напряжений – от независимых узлов к базисному.
Определяют узловые токи, узловые и общие проводимости; при этом токи источников тока, направленные к узлам, принимают положительными.
Записывают систему уравнений; в левой части уравнений слагаемое с узловыми проводимостями берут со знаком плюс, а слагаемые с общими проводимостями – со знаком минус.