43.1. Последовательное соединение активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений

При последовательном соединении активного r , индуктивного xL и ёмкостного xC

сопротивлений (рис.8 а) мгновенное значение напряжения источника согласно второму закону Кирхгофа определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений на

отдельных элементах:

Если все эти напряжения представить в виде векторов на векторной диаграмме,

то действующее значение напряжения источника определяется, как векторная сумма

действующих значений напряжений на отдельных элементах и может быть рассчитано по

формуле:

Учитывая, что по закону Ома

Тогда , - закон Ома ,

где: - полное сопротивление цепи при последовательном соединении элементов.

Полное сопротивление цепи Z , активное r и реактивное образуют

треугольник сопротивлений , для которого справедливы следующие соотношения:

43.2. II закон Кирхгофа для мгновенных значений.

Второй закон Кирхгофа

Рассмотрим контур, выделенный из сложной цепи переменного тока

Запишем второй закон Кирхгофа для мгновенных значений:

.

Все мгновенные значения изобразим в виде комплексов, опустим знак мнимой части, сократим на  и разделим на  (по аналогии с законом Ома):

.

В контуре цепи синусоидального тока алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов падений напряжений.

43.3.Временная и векторная диаграммы для различного характера цепи.

1)

2)

3)

46. Проводимости ветвей и полная проводимость. Треугольники токов и проводимостей. Связь между действующими (и амплитудными) значениями тока и напряжения. Энергетический процесс.

Проводимости ветвей и полная проводимость.

Евдокимов стр.74-79

Треугольники токов и проводимостей.

Представим комплексную проводимость в алгебраической форме

 

.           (2.10.5)

 

Действительную часть комплексной проводимости G называют активной проводимостью, а мнимую В — реактивной. На рис. 2.10.2, а сделаны построения, соответствующие комплексному выражению (2.10.5).

 

 

Рис. 2.10.2. Треугольники проводимостей и токов

 

Заштрихованный прямоугольный треугольник на рис. 2.10.2, а называют треугольником проводимостей. Из треугольника очевидны соотношения.

 

; G = Ycosj; В = Ysinj;

 

tgj = B/G;       cosj = G/Y;     sinj = B/Y.                   (2.10.6)

 

Выразим активную и реактивную составляющие проводимости ветви через ее активное и реактивное сопротивления.

Рассмотрим, например, проводимость ветви с элементами R₁ и jX_L

.          (2.10.7)

При получении соотношения (2.10.7) числитель и знаменатель домножены на сопряженный комплекс  .

Следует обратить внимание на то, что мнимая часть комплексной проводимости ветви с индуктивным элементом отрицательная. Если бы подобным образом было получено соотношение для второй ветви, содержащей емкостный элемент, то формулы имели бы тот же вид, но мнимая часть была бы положительной.

Итак,

 

 

или

 

G = R/Z²; B = X/Z².                  (2.10.8)

 

Построение треугольника тока очевидно из рис. 2.10.2, б. На векторной диаграмме рис. 2.10.2, б вектор тока спроецирован на направление вектора напряжения. Полученный при этом треугольник называют треугольником тока. Катеты прямоугольного треугольника тока называют активной и реактивной составляющими: активная составляющая тока I_a параллельна напряжению, а реактивная I_р — ортогональна.

Из треугольника тока можно получить следующие выражения:

 

I_a = Icosj, I_р = Isinj.               (2.10.9 а)

 

Так как I = UY, cosj = G/Y, sinj = В/Y, получаем, после подстановки в (2.10.9 а),

 

I_а = GU и I_р = BU.                  (2.10.9 b)

 

 

Связь между действующими (и амплитудными) значениями тока и напряжения.

Энергетический процесс.

Билет 47

Сущность символического метода. Три формы записи комплексного числа.

Смысл символического метода расчета в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений тока, к уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.

Данный метод называется символическим, потому что токи и напряжения замещают на их комплексные изображения, то есть комплекс Rm - это изобржение падения напряжения iR

Принцип в том, что в уравнении, составленном по закону Кирхгофа производится замена

• i → Im (статическое i на амплитудное)

• R → R (мгновенное R на R переменного тока)

• Ul = L(di/dt) → Im*jwL (мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке на комплекс, опережающий ток на 90º)

• Uc = 1/c * интеграл(i*dt) → Im*(-j/wc) (мгновенное напряжение на конденсаторе на комплекс, отстающий от тока на 90º)

• e → E (мгновенное значение эдс на комлекс ЭДС)

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1.     Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

 

2.     Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

 

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

.

Комплексные числа могут быть записаны в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической.

В алгебраической форме комплексное число представляют в виде алгебраической суммы двух составляющих — вещественной и мнимой. Вещественные составляющие часто обозначают той же буквой, которой обозначено комплексное число, но с одним штрихом, а мнимые - с двумя штрихами. Например, вектор А в алгебраической форме записывают А = А' + jA".

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим , . Очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде :

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма - это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.

Билет 48

Выражение тока, напряжения, сопротивления, проводимости, ЭДС электромагнитной индукции, мощности комплексными числами. Законы Ома и Кирхгофа в символическом виде.

Токи, напряжения в комплексной форме записи.

Синусоидальные величины можно изображать комплексными числами. комплексные значения тока, напряжения и ЭДС принято обозначать прописными буквами с точкой: I, U, Е, а их модули, соответствующие действующим значениям, обозначают теми же буквами, но без точек над ними: I, U, Е. Вернемся к цепям с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, активного сопротивления и емкости. Векторная диаграмма первой цепи, построенная на комплексной плоскости, дана на рис. 14.3, а, а второй — на рис. 14.4, а. В обоих случаях вектор тока I направлен по оси действительных чисел вправо от начала координат. Поэтому комплекс тока I = Iе^j0° = I, где I — модуль комплекса тока, а 0° — его начальная фаза.

Комплекс напряжения на зажимах цепи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности U=U_a +jU_L=Ue^jф, где U_a и jU_L — вещественная и мнимая части; U и ф - модуль и начальная фаза комплекса напряжения. Таким образом, комплексное изображение синусоидальной величины определяет ее действующее (амплитудное) значение и начальную фазу. Пусть ток в катушке I = 5 А, активное падение напряжения U_a = 60 В, а индуктивное U_L = 80 В. Тогда комплекс тока I=I= 5 А, а комплекс напряжения U= U_a + jU_L = 60 + j80. Для перехода от алгебраической формы к показательной найдем модуль комплекса напряжения: U = = 100 В и. tgф = Е= U_L/U_a = 80/60= 1,33. Значит, ф = 53°08'. Поэтому комплекс напряжения U = 60 + j80= 100е^j53°08' В.

Комплекс общего напряжения цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости (рис. 14.4,а) U = U_a — jU_C=Ue^-jф. Таким образом, в общем выражении комплекса напряжения перед мнимой частью ставятся знаки плюс, если она выражает индуктивное напряжение, и минус, если — емкостное. При последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости комплекс общего напряжения цепи U = U_a+ jU_L — jU_C = Ua + j(U_l — U_c) = Ue^jф. Модуль полученного комплекса U = , а его аргумент ф= arctg . При этом ф>0, если U_L>U_C, и ф<0, если U_L<U_C. В ряде случаев нулевую фазу приписывают не току, а напряжению. Тогда вектор напряжения и будет направлен по оси действительных чисел комплексной плоскости, а остальные векторы ориентируются относительно этого исходного вектора. При этом условии комплекс напряжения U = Ue^j0° = U. Комплекс тока для цепей с последовательным соединением I = Iе^-jф.

Сопротивления и проводимости в комплексной форме.

Сопротивления и проводимости можно выразить комплексными числами. Комплексное сопротивление цепи обозначается Z, a комплексная проводимость— Y. При обозначении комплексных величин принято ставить точки только над теми комплексами, которые изображают синусоидально изменяющиеся величины. Поэтому для комплексов полного сопротивления и проводимости вместо точки над буквой ставят черту снизу. Модуль комплексного сопротивления цепи обозначают г, а комплексной проводимости — у. Рассмотрим треугольники сопротивлений и проводимостей цепей с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, расположенные на комплексной плоскости. Активные сопротивления и проводимости изображены положительными отрезками на оси действительных чисел, а реактивные — положительными или отрицательными на оси мнимых чисел. С учетом этого составим комплексы полных сопротивлений и проводимостей. Для цепей с последовательным соединением Z = r+jx_L = ze^jф, a Y =g — jb_L = ye^-jф, а для цепей с г и С Z= r — jx_c = ze^-jф, a Y = g + +jb_С = уе^jф. Модули и аргументы этих величин определяют по следующим формулам. Для цепей с последовательным соединением z = ; у = и ф = arctg , а для цепей с г и С z = ; y = и ф= arctg . При последовательном соединении элементов с активным, индуктивным x_L и емкостным х_С сопротивлениями Z = r+jx_L — jx_C = r+j(x_L — x_c) = zе^jф. Модуль данного комплекса сопротивления z = , а его аргумент ф = arctg .

Выражение мощности в комплексной форме

Полная мощность цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока:

S = UI.

Казалось бы, выразив напряжение и ток в комплексной форме, можно получить комплексное значение полной мощности. Однако перемножение комплексных значений напряжения и тока не дает реальных полной, активной и реактивной мощностей цепи.

Комплексное значение полной мощности, отражающее реальные мощности в цепи, получится, если умножить комплексное значение напряжения на сопряженное комплексное значение тока:

S = UI*.

Сопряженное комплексное значение тока I* отличается от I знаком перед мнимой частью. Если комплексное значение тока I = еjψ, то сопряженное ему комплексное значение I* = Iе-jψ.

Покажем, что комплексное значение мощности отражает реальные мощности в цепи.

Допустим, что комплексные значения напряжения и тока какой-то цепи имеют выражения

U = Uejψ1; I = Iejψ2..

Комплексное значение полной мощности

S = UI* = Uejψ1Ie-jψ2 = UIej(ψ1 - ψ2) = Sejφ.

Выразив комплексное значение полной мощности в тригонометрической, а затем в алгебраической форме, получим

S = S cos φ + jS sin φ = Р + jQ,

где S cos φ = P — активная мощность цепи; S sin φ = Q — реактивная мощность цепи; S = √р2 +Q2 — полная мощность.

Следует отметить, что при активно-индуктивном характере нагрузки (ψ1 > ψ2) знак перед jQ положительный, при активно-емкостном (ψ2 > ψ1) — отрицательный.

Законы Омы и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме I=U/Z = UY. В этом выражении учитывается связь между действующими значениями напряжения U и тока I, а также разность фаз между ними. Комплексное сопротивление ветви с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С Z = r+j . Комплексное эквивалентное сопротивление неразветвленной цепи равно сумме всех ее комплексных сопротивлений: Z = Z₁+Z₂ +… +Z _п. Комплексная эквивалентная проводимосгь при параллельном соединении равна сумме комплексных проводимостей отдельных параллельных ветвей: Y—Y₁ + Y₂ + … +Y_n. Комплексное сопротивление эк-вивалентное^-двум параллельным ветвям, Z₁₂ = Z₁Z₂/( Z₁+Z₂). Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывают в виде ∑I = 0, т. е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. Токи, направленные к узлу, записываются с положительным законом, а от узла — с отрицательным. Например, для узла А (рис. 14.5) получим I₁- I₂- I₃ = 0. Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи в комплексной форме записывается в виде ∑E = ∑IZ, т. е. алгебраическая сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений. Уравнения по второму закону Кирхгофа записывают после выбора положительных направлений токов во всех ветвях цепи. Для схемы рис. 14.5 E= = I₁Z₁+I₂Z₂; E= I₁Z₁+ I₃Z₃; I₃Z₃- I₂Z₂=0.

Билет 49.

Комплексная передаточная функция. Частотные характеристики. АЧХ, ФЧХ. Годограф. Частотные характеристики простейших двухполюсников.

Комплексная передаточная функция

Передаточная функция - один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме.

Различают четыре вида передаточных функций:

1) передаточная функция по напряжению:

2) передаточная функция по току:

3) передаточное сопротивление:

4) передаточная проводимость:

В общем виде передаточная функция:

представляется в виде АЧХ - К(ω) и ФЧХ - φ(ω)

Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

,         n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика   может быть получена из передаточной функциизаменой p на 

(2.41)

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики   имеют самостоятельное значение и следующие названия:

•  вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

•  мнимая частотная характеристика (МЧХ),

•  амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

•  фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика  по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу  , при изменении   от 0 до   прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения   числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда  , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L(знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых   определяется выражением

где  .

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.

Годограф - кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного (изменяющегося со временем) вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала 

Годограф даёт наглядное геометрическое представление о том, как изменяется со временем физическая величина, изображаемая переменным вектором, и о скорости этого изменения, имеющей направление касательной к годографу.

Например, скорость точки является величиной, изображаемой переменным вектором v. Отложив значения, которые имеет вектор v в разные моменты времени, от начала О, получим годограф скорости; при этом величина, характеризующая быстроту изменения скорости в точке М, то есть ускорение (в этой точке), имеет для любого момента времени направление касательной к годографу скорости в соответствующей его точке М’.

Частотные характеристики двухполюсников

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники включают набор резистивных и реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, в которых протекают электрические токи под действием какого-либо одного внешнего источника энергии. Для описания физических явлений в таких цепях при воздействии на входных зажимах источника гармонических колебаний с фиксированной частотой  =const используют метод комплексных амплитуд, который в свою очередь основывается на введении понятий комплексных сопротивлений или проводимостей отдельных элементов цепи -r,  , , а также комплексных амплитуд токов и напряжений –  ,   .

В общем случае у источника гармонических колебаний может изменяться не только амплитуда и начальная фаза, но и угловая частота -  . Тогда комплексная характеристика источника (входного воздействия) записывается в виде функции мнимой комплексной переменной -  ( ). Эту характеристику обычно записывают в показательной (полярной) форме и называют комплексной спектральной плотностью. Модуль этой характеристики называют спектральной плотностью, а аргумент - фазовой плотностью или фазочастотной характеристикой. Так для напряжения   имеем:

где   - спектральная плотность напряжения,   - фазовая плотность напряжения.

     Аналогично гармонический ток с переменной угловой частотой ω характеризуется своей комплексной спектральной плотностью:

   В зависимости от вида входного воздействия (электрического сигнала) спектральные плотности могут иметь непрерывный или дискретный характер. В дальнейшем для краткости будем опускать написание зависимости от угловой частоты, полагая  ,  ,  ,  .

   На рисeyrt изображен двухполюсник, имеющий два входных зажима, к которым подсоединяется источник входного сигнала. Если к цепи присоединяется источник тока J(t), то входной ток i(t) = J(t), т.е. будет независимой функцией времени, а напряжение u(t) на входе определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение комплексов напряжения и тока.

(*)

Такое отношение называют комплексным входным сопротивлением

двухполюсника:

     Из определения (*) следует, что Z(jω) в свою очередь включает две характеристики:   - амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и  - фазочастотную характеристику (ФЧХ) функции входного сопротивления.

 Если к цепи присоединяется источник напряжения e(t), то напряжение на двухполюснике u(t) = e(t), т.е. будет независимой функцией времени, a ток i(t) определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение тока к напряжению, которое называют комплексной входной проводимостью двухполюсника:

где Y(ω) и φ(ω) называют соответственно АЧХ и ФЧХ функции входной проводимости.

52.Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Последовательный колебательный контур.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена согласно закону Ома: I = U/|ХΣ| , где |ХΣ| -модуль суммы реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора

Если соединить последовательно электрический конденсатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура, сама схема из конденсатора и индуктивности - последовательным колебательным контуром, а частота, на которой проявляется этот эффект - частотой резонанса.

Добротность

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания. Общая формула для добротности любой колебательной системы:

Коэффициент мощности

Коэффицие́нт мо́щности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей. Коэффициент мощности показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения. Численно коэффициент мощности равен косинусу этого фазового сдвига.

Коэффициент передачи по напряжению

Коэффициент передачи (также коэффициент преобразования) — отношение напряжения на выходе той или иной системы, предназначенной для передачи электрических сигналов, к напряжению на входе. В частном случае, когда значения выходного и входного сигнала являются однородными, коэффициент передачи называют коэффициентом усиления. KП = UВЫХ / UВХ. Коэффициент передачи часто выражают в логарифмическом виде, как 20 lg (UВЫХ / UВХ), дБ.

В усилительных устройствах коэффициент передачи больше единицы (больше нуля в логарифмическом масштабе) называют коэффициентом усиления (не путать с коэффициентом усиления антенны).

При рассмотрении пассивных устройств, а также линий передачи, когда выходное напряжение меньше входного, употребляют понятие ослабление сигнала.

Амплитудно-частотные характеристики

График АЧХ для последовательного контура приведён на рис. Из графика видно, что графики АЧХ для C и L пересекаются при резонансной частоте

w=

Фазо-частотные характеристики

Графики ФЧХ выглядят следующим образом

53. Последовательный колебательный контур.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена согласно закону Ома: I = U/|ХΣ| , где |ХΣ| -модуль суммы реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора

Избирательность и полоса пропускания

Избирательностью называют свойство колебательного контура выделять колебания одной избранной частоты. Различные контуры обладают неодинаковой избирательностью. Дело в том, что если на контур воздействуют два сигнала, частоты которых близки, то он может оказаться не в состоянии разделить эти сигналы. Не следует думать, что колебательный контур увеличивает напряжение или ток только в случае точного совпадения его частоты с собственной частотой колебательного контура. Если частота источника, подключенного к контуру, незначительно отличается от резонансной частоты, то напряжение или ток этого источника все же будут увеличены контуром, хотя и в меньшей степени, чем при резонансе. Поэтому всякий колебательный контур выделяет в действительности не одну частоту, а целую полосу частот. Полоса частот, выделяемых колебательным контуром, называется полосой пропускания колебательного контура. Ширина полосы пропускания измеряется в герцах, килогерцах, мегагерцах. Она зависит от добротности колебательного контура: чем выше добротность, тем уже полоса пропускания. Ширину полосы пропускания можно подсчитать по следующей простой формуле. Понятно, что чем уже полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, тем лучше он разделяет сигналы, имеющие близкие частоты, тем меньше воздействуют на него всевозможные помехи.

Расстройка

Практическое использование последовательных колебательных контуров.

54. Параллельный колебательный контур

В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На рисунке приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура. Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя - можно лишь складывать проводимости. На рисунке приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности BL = 1/ωL, конденсатора ВC = -ωC, а также суммарной проводимости ВΣ, этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току.

Если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты XΣ = 1/BΣ, эта кривая, изображённая на следующем рисунке, в точке ω = ωр будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности - оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Для параллельного колебательного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно, добротность вычисляется:

,где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Резонанс токов, условие его возникновения

Резонанс токов. Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис 198 а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R1=R2 = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость. Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части

цепи при резонансе I=U(G2+(BL-BC)2)= 0. Значения токов в ветвях I1 и I2 будут равны(рис 198 б) , но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток L в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости С опережает напряжение U на 90°). Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи IL и IС, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

Признаки резонанса токов

В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление Rэкв = Q·ρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер на более низких частотах - индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких - наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты)

Резонансная частота

Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер. Условие резонанса - это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

Векторная диаграмма

Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи (рис. 60, б) при резонансе токов. Отложим в выбранном нами масштабе вектор напряжения U. Ток в индуктивности отстает от напряжения на угол j = 90°. Поэтому вектор тока IL отложим вниз под углом 90° к вектору напряжения U. Так как ток в емкости опережает напряжение на угол j=90°, то вектор тока Iс, равный по условию резонанса токов вектору тока IL, отложим вверх под углом 90° вектору напряжения U.

На векторной диаграмме видно, что ток в индуктивности и том в емкости сдвинуты по фазе на угол j=180 (градусов) и равны друг другу. Отсюда следует, что общий ток при резонансе токов равен нулю, а полное сопротивление цепи бесконечно велико.

В действительности общий ток будет относительно мал, но не равен нулю. Этот ток, который вырабатывает генератор, является активным и покрывает потери энергии в контуре.

55.

• Параллельный колебательный контур. Полное эквивалентное сопротивление контура при резонансе и при расстройках, его активная и реактивная составляющие. Эквивалентная добротность параллельного контура с учётом влияния внутреннего сопротивления генератора.

В параллельном колебательном контуре конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно. Если снабдить такой контур энергией, например, зарядив конденсатор, или вызвав ток в катушке индуктивности, то далее энергия будет перетекать из конденсатора в катушку и обратно. На конденсаторе будет формироваться синусоидальное напряжение. Его частота называется частотой резонанса параллельного колебательного контура. Если бы не было потерь, то колебания продолжались бы бесконечно, но из-за потерь колебания постепенно затухают.

Контур, настроенный в резонанс   , имеет максимальное активное сопротивление:

Расстройка контура   приводит к уменьшению    и изменению характера его реактивности. При       , при 

Избирательность контура в этом случае равна:

Контуры параллельного типа в зависимости от способа подключения к источнику переменного напряжения делят на контуры первого, второго и третьего видов.

эквивалентное сопротивление контуров параллельного типа при резонансе токов равно:

 ,

Подключение нагрузки   к контуру увеличивает сопротивление потерь контура, уменьшает   и   , снижает его избирательность V

И увеличивает полосу пропускания 

Для увеличения избирательности применяют колебательные системы, состоящие из двух или более связанных между собой контуров. 

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

56Параллельный колебательный контур. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики параллельного контура. Полоса пропускания контура и её зависимость от внутреннего сопротивления генератора. Избирательность параллельного контура при различных внутренних сопротивлениях генератора.

АЧХ

ФЧХ

С уменьшением внутреннего сопротивления генератора эквивалентная

добротность уменьшается, а полоса пропускания увеличивается.