51. Метод Зейделя

Суть: последовательное исключение неизвестных

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения x(k+1) (см. формулы (1.13),(1.14)) его уже полученные компоненты x1(k+1), ...,xi - 1(k+1) сразу же используются для вычисления xi(k+1).

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

x1(k+1) = c11x1(k) + c12x2(k) + ... + c1n-1xn-1(k) + c1nxn(k) + d1

x2(k+1) = c21x1(k+1) + c22x2(k) + ... + c2n-1xn-1(k) + c2nxn(k) + d2

...

xn(k+1) = cn1x1(k+1) + cn2x2(k+1) + ... + cnn-1xn-1(k+1) + cnnxn(k) + dn

где x(0) - некоторое начальное приближение к решению.

Таким образом i-тая компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

xi(k+1) = ∑ j=1i-1 cijxj(k+1) + ∑ nj=i cijxj(k) + di , i = 1, ..., n (1.20)

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности ε в упрощенной форме имеет вид:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений

52. Сформулируйте задачу Коши. Назовите основные группы методов численного решении такой задачи. Приведите примеры методов.

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х0)=у0.

Требуется найти решение на отрезке [a,b],

гдe x₀ =a.

Введем разностную сетку на отрезке [a,b]

h=|b-a|/N.

Точки - называются узлами разностной сетки, расстояния между узлами – шагом разностной сетки (h) , а совокупность значений какой либо величины заданных в узлах сетки называется сеточной функцией

Группы методов: одношаговые и многошаговые;

Примеры методов: Метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, Метод Рунге Кутта.

53. Погрешность при решении задачи Коши. Назовите основные группы методов численного решения такой задачи. Понятие неустойчивости решения.

Приближенное решение задачи Коши (4.1) будем искать численно в виде сеточной функции . Для оценки погрешности приближенного численного решения будем рассматривать это решение как элемент N+1- мерного линейного векторного пространства с какой либо нормой. В качестве погрешности решения принимается норма элемента этого пространства , где - точное решение задачи (1) в узлах расчетной сетки. Таким образом .

Одношаговые методы : Метод Эйлера , Модификации метода Эйлера, Метод Эйлера –Коши, метод Рунге-Кутта.

55. Одношаговые методы решения задачи Коши и их свойства.

55. одношаговые методы решения задачи Коши и их свойства.

Известно, что с помощью дифференциальных уравнений можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, и др. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Так как любое ОДУ порядка p

u(p)(x) = f(x, u, u/, u//, … u(p+1)) заменой u(k)(x) = yk(x) можно свести к эквивалентной системе из p уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде:

y/k(x) = yk+1(x) для 0 ≤ k ≤ p–2 (1)

y/p-1(x) = f(x, y0, y1, … yp-1), при этом y0(x) ≡ u(x). (2)

Покажем такое преобразование на примере уравнения Бесселя: .

Предполагая тождественную замену y1(x<) ≡ y(x) представим систему ОДУ в следующем виде:

Аналогично произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Следовательно, алгоритмы численного решения достаточно реализовать для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Известно, что система p-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от p параметров {C1, C2, … Cp}. Для определения значений этих параметров, т.е. для выделения единственного решения необходимо наложить p дополнительных условий на uk(x). По способу задания условий различают три вида задач, для которых доказано существование и единственность решения. Это

Задача Коши. Задается координата uk(x0) = uk0 начальной точки интегральной кривой в (p+1)–мерном пространстве (k = 1…p). Решение при этом требуется найти на некотором отрезке x0 ≤ x ≤ xmax.

Краевая задача. Это задача отыскания частного решения системы ОДУ на отрезке a ≤ x ≤ b, в которой дополнительные условия налагаются на значения функции uk(x) более чем в одной точке этого отрезка.

Задача на собственные значения. Кроме искомых функций и их производных в уравнение входят дополнительно m неизвестных параметров λ1, λ2, … λm, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на некотором интервале необходимо задать p+m граничных условий.

Метод Эйлера (метод ломаных).

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка:

u /(x) = f(x, u(x), x0 ≤ x ≤ xmax, u(x0) = u0. (3)

В окрестности точки x0 функцию u(x) разложим в ряд Тейлора:

Так как в соответствии с (3) u/(x0) = f(x0, u0), то

Теперь приближенное решение в точке x1 = x0+h можно вновь рассматривать как начальное условие, т.е. организуется расчет по следующей рекуррентной формуле:

где y0 = u0, а все yk – приближенные значения искомой функции (см. рисунок). В методе Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге касательная находится уже для новой интегральной кривой (что и дало название методу – метод ломаных), таким образом ошибка будет возрастать с отдалением x от x0

При h стремящемся к 0 приближенное решение сходится к точному равномерно с первым порядком точности. То есть, метод дает весьма низкую точность вычислений: погрешность на элементарном шаге h составляет ½ h2y//(½(xk+xk+1)), а для всей интегральной кривой порядка h1. При h = const для оценки апостериорной погрешности может быть применена первая формула Рунге, хотя для работы метода обеспечивать равномерность шага в принципе не требуется.

Метод Эйлера легко обобщается для систем ОДУ. При этом общая схема процесса (5) может быть записана так:

где i = 1… m – число уравнений, k – номер предыдущей вычисленной точки.

56. Приведите вывод формулы Эйлера. Поясните геометрический смысл метода Эйлера.

Ответ в методичке №2 стр5

57. Отличие между методом эйлера и модифицированным методом эйлера. Их порядок.

58.Метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутты II порядка.

Увеличение точности решения ОДУ из предыдущей задачи при заданном шаге h может быть достигнуто учетом большего количества членов разложения функции в ряд Тейлора. Для метода Рунге-Кутты второго порядка следует взять три первых коэффициента, т.е. обеспечить:

Переходя к приближенному решению y ≈ u и заменяя производные в (8) конечными разностями, получаем в итоге следующее выражение:

где 0 ≤ α ≤ 1– свободный параметр. Можно показать, что если f(x,u) непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то решение, полученное по данной схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью порядка h2.

Для параметра α наиболее часто используют следующие значения:

1) α = 1. В этом случае

17