44. В чем заключается особенность итерационных методов? Условия сходимости решения итерационными методами.

Суть итерационных методов, в свою очередь, заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью.

Использование итерационных методов дает возможность найти приближенное решение системы с заданной степенью точности (метод простой итерации, метод Зейделя, метод последовательной релаксации).Который позволит получить эффективный результат с использованием вычислительной техники.

область применения зависит от свойства сходимости;

эффективны при решении разряженных матриц и матриц большой размерности.

эффективны при решении разряженных матриц и матриц большой размерности.

экономичны, в плане затраты машинного времени и использования оперативной памяти т. к. время решения, пропорционально квадрату размера матрицы.

позволяют получить решение с любой заданной точностью.

– условие сходимости

45. Суть метода Ньютона и метода секущих.

Задан отрезок [а,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условиеF(x0)*F"(x0) > 0).

В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Метод Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений.

Итерационная формула имеет вид:

Итерационный процесс проходит до того времени, пока не будет выполнено условие /F(X)/< e , где e - заданная точность

Достоинство метода Ньютона: очень быстрая сходимость по сравнению с методом половинного деления и методом простой итерации к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

Метод секущих

Если итерации xn и xn+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f’(xn) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением

Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих : Метод секущих

Рис. 7

Здесь задаются в начале итерационного процесса две точки x0 и x1.

Останов: |xn+1-xn|<ε , где ε - заданная точность.

Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции f(x).

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f(x) касательной мы переходим к секущей (см. рис.7).

46. метод деления отрезка пополам.

Предположим, что отрезок [a , b], на котором отделен корень уравнения, уже найден.

Пусть, например, f(a)>0, f(b)<0. Вычислим точку x=(a+b)/2. Если вместо корня взять точку x, то погрешность, которую мы при этом допустим, не превысит величины e1=(b-a)/2. Если эта погрешность не превышает некоторую заданную погрешность e , с которой нужно уточнить корень уравнения, то вычисления прекращаем и можно записать: ξ=x ±(b-a)/2 . В противном случае определяем новый отрезок [a , b], на котором отделен корень нашего уравнения. Для этого определим знак функции в точке х. В нашем примере f (x )>0. Новый отрезок – отрезок [x , b], так как на концах этого отрезка функция имеет разные знаки. Переобозначим один из концов отрезка – в нашем случае положим a = x - и повторим процедуру для нового отрезка [a , b].

РИСУНОК

47. Назовите основные методы решении СЛАУ.

Для решения используются следующие основные методы:

1. Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных.

2. Методы последовательных приближений.

Существует две разновидности метода последовательных приближений. В методе простых итераций вычисляются сразу все n значений неизвестных и все разом подставляются в правые части уравнений (11). В методе Зейделя каждое вычисленное новое значение очередного неизвестного сразу же начинают подставлять в правые

части уравнений вместо старого, что увеличивает скорость сходимоти процесса. Недостатком методов последовательных приближений является то, что итерационный процесс, как правило, сходится только при выполнении определенных условий.

В случае системы линейных алгебраических уравнений условие сходимости таково:

, (i=1…..n)