1) Симетрія – при перестановці аргументів кореляційна функція не змінюється
.
Доведення даної властивості.
;
.
Праві частини дорівнюють одна одній, отже,
.
2) Додавання до випадкової функції невипадкового доданку не змінює її кореляційної функції. Якщо
,
то
.
Доведення даної властивості.
Додавання до випадкової функції невипадкового доданку не змінює її центрованої функції, тобто, якщо
, то
.
Покажемо це. Так як
, то
.
Розглянемо
,
зробимо підстановки.
.
Доведемо,
що
.
Зауваження. Якщо помножити випадкову функцію на невипадковий множник , то її центровану функцію треба помножити на цей самий множник, тобто, якщо
,
то
.
Дійсно,
,
отже,
.
3)
Якщо
помножити випадкову функцію
на невипадковий множник
,
то її кореляційну функцію теж треба
помножити на множники
та
,
тобто якщо
, то
.
Доведення.
Враховуючи зауваження,
,
маємо, що
Винесемо невипадковий множник за знак математичного сподівання.
Отже,
4) Абсолютна величина кореляційної функції не перевищує середнього геометричного дисперсії відповідного перетину
Доведення.
З курсу теорії ймовірності відомо, що
,
де
– модуль кореляційного моменту. При
фіксованих значеннях
та
величина кореляційної функції дорівнює
кореляційному моменту відповідних
перетинів
5) При рівних між собою значеннях аргументів кореляційна функція випадкової функції дорівнює дисперсії цієї функції, тобто
.
Доведення.
Приклад
3.3.
Задана випадкова функція
,
де
– випадкова величина, причому
,
.
Знайти кореляційну функцію, дисперсію
та середньоквадратичне відхилення
заданої функції.
Розв’язування.
Знайдемо математичне сподівання
.
.
Знайдемо
центровану функцію
.
.
Розрахуємо кореляційну функцію.
Розрахуємо дисперсію.
Розрахуємо середньоквадратичне відхилення.
Кореляційна функція характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома перетинами, але й розкид цих перетинів щодо математичного сподівання .
Нормована кореляційна функція випадкового процесу приймає значення в діапазоні від 0 до 1 і дозволяє оцінити ступінь тісноти лінійної залежності між перетинами.
Визначення
3.5.
Нормованою
кореляційною функцією випадкового
процесу
називається функція
.
Приклад
3.4.
Знайти числові характеристики випадкового
процесу
,
де
– випадкова величина, причому
.
Розв’язання. Знайдемо математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію.
.
.
.
.
Той
факт, що
свідчить про те, що між перетинами
випадкового процесу
існує тісний лінійний зв’язок.
ЛЕКЦІЯ 4 ПОТОКИ ПОДІЙ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА КЛАСИФІКАЦІЯ
4.1 Поняття потоку подій
Одним з важливих понять теорії випадкових процесів є поняття потоку подій.
Визначення 4.1. Потоком подій називається послідовність однорідних подій, що з’являються у випадкові моменти часу.
Наведемо приклади потоків подій, а саме:
потік викликів на телефонній станції;
потік автомобілів, що під’їжджають на заправну станцію;
потік хворих грипом у зимовий період;
потік заявок на ремонт, що надходять у ремонтну організацію;
потік відмов (збоїв) ЕОМ у ході її роботи.
Події, що створюють потік, в загальному випадку можуть бути неоднорідними, наприклад, у потоці автомобілів, що прибувають на заправку, розрізняють легкові і вантажні.
З потоком подій можна зв’язувати різні випадкові події, наприклад:
А = {протягом часу від до
прийде хоча б один виклик на телефонну
станцію};В = {протягом того ж часу від до прийде рівно два виклики на телефонну станцію} тощо.
Ймовірність таких подій можна обчислювати.
Потік
подій у загальному випадку є просто
послідовністю випадкових точок
на осі часу з випадковими інтервалами
,
що їх розділяють, причому
(рис. 4.1).
Рисунок 4.1 – Потік подій на осі часу
Потоки подій розрізняють за їх внутрішньою структурою:
за законами розподілу інтервалів між подіями;
за їх залежністю або незалежністю між собою.
З потоком однорідних подій пов’язують випадковий процес їх накопичення.
Нехай
– кількість подій потоку, що з’явилися
до моменту часу
.
Кожна реалізація
випадкового процесу
– ступіньчаста ламана, що підскакує на
одиницю у момент появи чергової події
та залишається на одному рівні до
наступної а потоці (рис. 4.2).
Рисунок
4.2 – Реалізація
випадкового процесу
Тут моменти появи подій вже не випадкові величини і позначаються . Для визначеності вважатимемо, що в тих точках розриву процес та його реалізується набули значення, які знаходяться праворуч від розриву (про таку функцію говорять, що вона неперервна справа).