12.3 Одноканальна смо з очікуванням
Розглянемо
найпростішу СМО з очікуванням –
одноканальну систему (n-1),
у яку надходить потік заявок з
інтенсивністю
;
інтенсивність обслуговування
(тобто в середньому безупинно зайнятий
канал буде видавати
обслужених заявок за одиницю часу).
Заявка, яка надійшла в момент, коли канал
зайнятий, стає в чергу й очікує
обслуговування.
Система з обмеженою довжиною черги. Припустимо спочатку, що кількість місць у черзі обмежене числом m, тобто якщо заявка прийшла в момент, коли в черзі вже знаходиться m – заявок, вона залишає систему не обслуженою. Надалі, спрямувавши m до нескінченності, ми одержимо характеристики одноканальної СМО без обмежень довжини черги.
Система S (СМО) має наступні стани (нумеруємо їх по числу заявок, що знаходяться в системі):
– канал вільний;
– канал зайнятий, черги немає;
– канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі;
– канал зайнятий, k-1 заявок стоять у черзі;
–
канал
зайнятий, т-
заявок стоять у черзі.
Граф станів СМО, що відповідає процесу загибелі і розмноження, показаний на рисунку 12.1.
Рисунок 12.1 – Одноканальна СМО з очікуванням
Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусідній правий з однією і тією ж інтенсивністю λ. Інтенсивність потоку обслуговування, що переводять систему з будь-якого правого стану в сусідній лівий стан, дорівнює μ.
Дійсно, по стрілках зліва направо система переводить потік заявок (як тільки прийде заявка, система переходить у наступний стан), а справа наліво – потік «звільнень» зайнятого каналу, що має інтенсивність μ (як тільки буде обслугована чергова заявка, канал або звільниться, або зменшується число заявок у черзі).
Напишемо вираз для граничних імовірностей станів:
Або з використанням
маємо
|
|
(12.1)
|
Останній
рядок в (12.1) містить геометричну прогресію
з першим членом 1 і знаменником
,
звідки одержуємо:
|
|
(12.2)
|
,у зв’язку із чим граничні ймовірності отримують вид:
|
|
(12.3)
|
Вираз
(12.2) дійсний тільки при
(при
маємо невизначеність типу 0/0 ). Сума
геометричної прогресії із знаменником
дорівнює m+2,
тоді
.
Визначимо
характеристики СМО: імовірність відмови
,
відносну пропускну здатність q,
абсолютну пропускну здатність А,
середню довжину черги
,
середнє число заявок, пов’язаних із
системою
,
середній час очікування у черзі, середній
час перебування заявки в СМО
.
Імовірність відмови. Очевидно, заявка отримує відмову тільки у випадку, коли канал зайнятий, а також всі т- місць у черзі.
|
|
(12.4)
|
.
Відносна пропускна здатність
|
|
(12.5)
|
.
Абсолютна пропускна здатність
.
Середня
довжина черги.
Знайдемо середнє число
– заявок, що перебувають у черзі, як
математичне сподівання дискретної
випадкової величини R
– числа заявок, що перебувають у черзі
.
З
імовірністю
в черзі стоїть одна заявка, з імовірністю
– дві заявки, взагалі на загал з
імовірністю
в черзі стоять k-1
заявок, звідки
|
|
(12.6)
|
.
Оскільки
,
суму в (12.6) можливо пояснити як похідну
по
від суми геометричної прогресії
.
Підставляючи
даний вираз в (16.6) і використовуючи
з (12.3), маємо
|
|
(12.7)
|
.Середнє число заявок, що перебувають у системі. Одержимо далі формулу для середнього числа -заявок, пов’язаних із системою (як для тих, що стоять у черзі, так і для тих, що перебувають на обслуговуванні).
Оскільки
,
де
–
середнє число заявок, що перебувають
під обслуговуванням, а k
–відома величина, то залишається
визначити
.
Оскільки
канал один, то число заявок, що
обслуговуються, може дорівнювати 0 (з
імовірністю
)
або 1 (з імовірністю 1 –
),
звідки:
.
Середнє число заявок, пов’язаних з СМО, дорівнює
|
|
(12.8)
|
Середній
час очікування заявки в черзі.
Позначимо його
;
якщо заявка приходить у систему в якийсь
момент часу, то з імовірністю
канал обслуговування не буде зайнятий,
і їй не доведеться стояти в черзі (час
очікування дорівнює нулю). З імовірністю
вона прийде в систему під час обслуговування
якоїсь заявки, але перед нею не буде
черги, і заявка буде чекати початку
свого обслуговування протягом часу
(середній час обслуговування однієї
заявки). З імовірністю
в черзі перед розглянутою заявкою буде
стояти ще одна, і час очікування в
середньому буде дорівнювати
тощо.
Якщо ж
k=m+1,
тобто коли знову заявка, що надійшла,
застає канал обслуговування зайнятим
і m-заявок
у черзі (імовірність цього
),
то у цьому випадку заявка не стає у чергу
(і не обслуговується), тому час очікування
дорівнює нулю. Середній час очікування
буде дорівнювати:
.
Якщо в отриманий вираз підставити вираз для ймовірності (12.3), отримаємо:
|
|
(12.9)
|
Тут використані співвідношення (12.6), (12.7) (похідна геометричної прогресії), а також із (12.3). Порівнюючи цей вираз з (12.7), зауважуємо, що, інакше кажучи, середній час очікування дорівнює середньому числу заявок у черзі, поділеному на інтенсивність потоку заявок
|
|
(12.10)
|
.
Середній
час перебування заявки в системі.
Позначимо
–
математичне сподівання випадкової
величини – час перебування заявки в
СМО, яке складається із середнього часу
очікування в черзі
й середнього часу обслуговування
.
Якщо завантаження системи становить
100%, очевидно,
,
в іншому ж випадку
Звідси
.