10.1 Перша характеристика пуассоновського нестаціонарного потоку подій

Визначення 10.1. Потік подій називається нестаціонарним, якщо ймовірність настання того чи іншого числа подій за будь-який проміжок часу залежить не тільки від довжини цього проміжку, але й від моменту його початку.

Не стаціонарність потоку означає, що його ймовірнісні характеристики, зокрема, інтенсивність, залежить від часу. Тому замість писатимемо .

Розглянемо нестаціонарний пуассоновський потік з інтенсивністю за довільний проміжок часу завдовжки , що починається з моменту і закінчується у момент часу та дискретну випадкову величину – число подій, що наступають у потоці за проміжок часу від до .

Теорема 10.1. У нестаціонарному пуассоновському потоці з інтенсивністю

1) випадкова величина розподілена за законом Пуассона

,

де – імовірність того, що за проміжок часу з початком у момент і завдовжки в потоці наступить подій, причому параметр є математичним сподіванням випадкової величини , яке залежить не тільки від , але й від і обчислюється за формулою

.

(10.1)

2) Дисперсія випадкової величини

.

3) Середньоквадратичне відхилення випадкової величини

.

Доведення теореми аналогічне доведенню теореми для стаціонарного потоку.

Наслідок. У нестаціонарному Пуассоновському потоці інтенсивністю ймовірність того, що за проміжок часу від до

1) не наступить жодної подій

;

2) наступить менше, ніж подій

;

3) наступить не менше подій

;

4) наступить хоч би одна подія

,

де математичне сподівання визначається за формулою (10.1).

Доведення аналогічне доведенню наслідку стаціонарного пуассоновського потоку.

Елементом ймовірності появи події в нестаціонарному пуассоновському потоці називається ймовірність появи події за елементарний (достатньо малий) проміжок часу від до .

Теорема 10.2. Для елементу ймовірності появи події за елементарний проміжок часу від до в нестаціонарному пуассоновському потоці з інтенсивністю має місце наближена формула

.

(10.2))

Доведення. Так само, як і при доведенні аналогічної теореми для простого потоку за пунктом 4 наслідку

;

.

Звідси видно, що при .

Розкладаю по ступенях і нехтуючи ступенями вищого порядку отримуємо

.

Оскільки , то при , отже, через неперервність при маємо

.

Таким чином, наближена рівність (10.2) доведена. Зведемо формули у таблицю 10.1.

Таблиця 10.1 – Характеристики випадкової величини

Характеристика	Формула
Інтенсивність нестаціонарного пуассоновського потоку.
Математичне сподівання випадкової величини
Закон розподілу Пуассона випадкової величини .
Ймовірність того, що за проміжок часу від до в потоці не відбудеться жодної події.
Ймовірність того, що за проміжок часу [ ; ] в потоці наступить менше подій.

Продовження таблиці 10.1

Ймовірність того, що за проміжок часу [ ; ] в потоці наступить не менше подій.
Ймовірність того, що за проміжок часу [ ; ] в потоці наступить хоча б одна подія.
Елемент ймовірності появи події за елементарний проміжок часу [ ; ] .
Дисперсія випадкової величини.
Середньоквадратичне відхилення величини .