9.3 Друга характеристика пуассоновського потоку

Іншою важливою характеристикою випадкового потоку є неперервна випадкова величина – проміжок часу між двома сусідніми подіями потоку.

Теорема 9.3. У простому потоці з інтенсивністю для випадкової величини :

1) інтегральна функція розподілу, тобто ймовірність події, яка полягає у тому, що проміжок часу між двома сусідніми подіями буде менший , дорівнює

.

(*)

2) диференціальна функція розподілу (щільність розподілу)

.

(**)

3. математичне сподівання (середній інтервал між сусідніми подіями)

.

4) дисперсія

.

5) середньоквадратичне відхилення

.

Доведення. Нехай – момент настання будь-якої події у даному потоці. Розглянемо часовий інтервал довжини , яка лежить праворуч від точки (рис. 9.1).

Рисунок 9.1– Часовий інтервал довжини

Подія, яка полягає у тому, що інтервал буде менший , еквівалентно події, що на ділянці з’явиться хоч би одна подія. Тому імовірності цих подій рівні між собою:

,

Отже, в силу того, що за проміжок часу наступить хоча б одна подія

,

маємо формулу

.

Якщо , то подія є хибною, а тому ймовірність . Права частина в рівності (*) також дорівнює нулю при , тобто формула (*) є також справедлива при .

Формулу (**) отримуємо диференціюванням за формули (*).

За визначенням математичного сподівання неперервної випадкової величини

.

Проінтегруємо за частинами. Якщо , тоді , отже

За визначенням дисперсії неперервної випадкової величини матимемо:

(9.1)

Перший інтеграл у правій частині проінтегруємо за частинами, поклавши, що

, тоді

.

За визначенням диференціальної функції розподілу з використанням (**) отримуємо

.

Підставляючи результати інтегрування у формулу (9.1), отримуємо

.

Наслідок. Ймовірність того, що проміжок часу між двома сусідніми подіями у простому потоці буде не менше , обчислюється за формулою

.

Доведення. Події та протилежні. Отже,

,

тоді з (**) отримаємо наслідок .

На графіку інтегральної функції розподілу неперервної випадкової величини (рис. 9.2) величина ймовірності того, що значення проміжку часу між двома сусідніми подіями в потоці опиниться в інтервалі дорівнює .

Рисунок 9.2 – Графік інтегральної функції розподілу

На графіку функції розподілу неперервної випадкової величини (рис. 9.3) величина ймовірності того, що значення проміжку часу між двома сусідніми подіями у потоці опиниться в інтервалі , дорівнює площі криволінійної трапеції .

Рисунок 9.3 – Графік диференціальної функції розподілу

Зведемо формули, що представлені вище у таблицю 9.2.

Таблиця 9.2 – Характеристики випадкової величини

Характеристика	Формула
Інтенсивність простою потоку.
Закон розподілу Пуассона випадкової величини .
Ймовірність того, що за проміжок часу між двома сусідніми подіями у потоці будемо не менше .
Диференціальна функція випадкової величини (тобто щільність розподілу) – показовий закон розподілу з параметром .
Математичне сподівання (середнє значення) випадкової величини .
Дисперсія випадкової величини .
Середньоквадратичне відхилення величини .

Приклад 9.1. Для аналізу зміни з часом розміру поточного фонду компанії, яка веде справи страхування автомобілів, важливо мати інформацію щодо процесу надходження в компанію вимог за виплатами відповідно до страхових полісів. Спостереження за роботою компанії в попередній період показало, що число вимог, що надходять у компанію, за виплатами за будь-який проміжок часу завдовжки не залежить від моменту часу, з якого починається відлік проміжку, а залежить тільки від його тривалості; вимоги в компанію у будь-яких непересічних інтервалах часу надходять незалежно: у достатньо малі проміжки часу вимоги надходять в компанію поодинці. Очікуване число вимог, що надходять у компанію за тиждень, дорівнює 2. Охарактеризуйте процес та з’ясуйте, яка ймовірність того, що:

1. протягом одного місяця в компанію надійде 7 вимог;

2. протягом одного місяця в компанію надійде менше 7 вимог;

3. протягом одного місяця в компанію надійде не менше 7 вимог;

4. за один місяць в компанію не надійде жодної вимоги;

5. протягом двох тижнів в компанію надійде хоча б одна вимога;

6. інтервал часу між двома сусідніми вимогами буде менше двох днів;

7. інтервал часу між двома сусідніми вимогами буде не менше двох днів.

Розв’язання. Позначимо потік вимог за виплатами, що надходять в компанію, П.

За умовою число вимог , що надходять в компанію, з виплатами за будь-який проміжок часу не залежить від початку цього проміжку, а залежить лише від його довжини. Тому потік П стаціонарний.

Оскільки вимоги за будь-які два неперервні інтервали часу надходять у компанію незалежно, то потоку П притаманна відсутність післядії.

Оскільки в достатньо малі проміжки часу вимоги в компанію надходять поодинці, то потік П ординарний.

Таким чином, потік П є стаціонарним пуассоновським, тобто простим потоком.

В умовах даної ситуації за одиницю часу природно прийняти тиждень. За умовою інтенсивність потоку П дорівнює двом вимогам на тиждень.

Нехай – число вимог за виплатами, що надходять у компанію за проміжок (тиждень), – проміжок часу між двома сусідніми вимогами за виплатами.

Після проведеної математичної формалізації можна відповісти на поставлені запитання:

1) У першому питанні , місяць = 4 тижні, =7, тоді ймовірність надходження в компанію протягом місяця 7 вимог за виплатами обчислюється за законом Пуассона.

.

2) Імовірність надходження у компанію менше 7 вимог за виплатами протягом місяця обчислюється за формулою

3) Імовірність надходження у компанію не менше 7 вимог за виплатами протягом місяця обчислюється за формулою

4) У четвертому питанні (тиждень). Імовірність того, що протягом тижня у компанію не надійде жодної вимоги за виплатами обчислюється на формулою

.

5) У 5 питанні (тижні). Імовірність надходження в компанію протягом двох тижнів хоч би однієї вимоги з виплатами обчислюється за формулою

.

6) Імовірність того, що менше двох днів обчислюється за формулою 2-го рядка таблиці 9.2 при дні = 2/7 тижня.

.

7) Імовірність того, що не менше двох днів, знаходимо за формулою 3-го рядка таблиці 9.2 при дні = 2/7 тижня.

.

ЛЕКЦІЯ 10 ПУАССОНОВСЬКИЙ НЕСТАЦІОНАРНИЙ ПОТІК ПОДІЙ