9.1 Поняття пуассоновського стаціонарного потоку

Потоком подій називається послідовність подій, що наступають у будь-які випадкові моменти часу.

Події у потоці називаються однорідними, якщо їх розрізняють тільки за моментами настання, і неоднорідними, якщо події у потоці розрізняються крім моментів настання ще за іншими властивостями.

Далі розглянемо потоки подій тільки однорідні.

Згадаємо, що потік називається регулярним, якщо події у ньому відбуваються послідовно через певні проміжки часу.

Визначення 9.1. Потік називається потоком без післядії (або потоком без пам’яті), якщо для будь-якої пари непересічних проміжків часу число подій, що наступають в один з цих проміжків часу, не залежить від числа подій, що наступають в інший проміжок часу.

Відсутність післядії характеризується тим, що послідовні події в потоці без післядії наступають незалежно однин від одного.

Регулярний потік не є потоком з відсутністю післядії, оскільки післядія породжується саме його регулярністю.

Визначення 9.2. Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність настання за елементарний (малий) проміжок часу більше за одну подію можна знехтувати в порівнянні з імовірністю настання за цей проміжок не більше однієї події.

Ординарність потоку означає, що події у ньому за достатньо малий проміжок часу або не наступають або наступають поодинці.

Визначення 9.3. Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність настання того або іншого числа подій за який-небудь проміжок часу залежить тільки від довжини його проміжку та не залежить від моменту його початку.

Стаціонарність потоку означає, що його ймовірнісні характеристики не залежать від часу.

Визначення 9.4. Потік подій, якому притаманні властивості відсутності післядії і ординарності, називається пуассоновським.

Визначення 9.5. Стаціонарний пуассоновський потік називається простим.

Інтенсивність або середня щільність простого потоку не змінюється з часом.

Визначення 9.6. Декілька потоків називається порівнянними за інтенсивністю, якщо інтенсивність жодного з них не перевищує суми інтенсивностей останніх.

9.2 Перша характеристика пуассоновського потоку

Розглянемо простий (тобто стаціонарний пуассоновський) потік з інтенсивністю , що є числом подій, які наступають за проміжок часу .

Однією з важливих характеристик потоку є дискретна випадкова величина , що є числом подій, які наступають за проміжок часу . Таким чином, випадкова величина може приймати значення , тоді – ймовірність того, що за проміжок часу в потоці наступить точно подій.

Теорема 9.1. У простому потоці з інтенсивністю випадкове число подій , що наступають за проміжок часу , розподілено за законом Пуассона

,

Що його математичне сподівання (тобто середнє число подій, що наступають у потоці за проміжок ) і дисперсія дорівнюють

,

а середньоквадратичне відхилення

.

Доведення. З курсу теорії ймовірності відомо, що ймовірність настання - подій у простому потоці за часовий проміжок визначається за формулою Пуассона

,

де – математичне сподівання випадкової величини .

Оскільки у даному випадку математичне сподівання випадкової величини є середнім числом подій, що наступають за проміжок , а – середнє число подій за одиницю часу, то

.

Відомо також, що у пуассоновському розподілі

.

Значення середньоквадратичного відхилення випливає з його визначення.

Наслідок. Для простого потоку інтенсивністю мають місце наступні твердження:

1) ймовірність того, що за проміжок часу не наступить жодної події ( , тобто проміжок виявиться вільним);

.

2) ймовірність того, що за проміжок часу наступить менше, ніж подій ;

3) ймовірність того, що за проміжок часу наступить не менше подій ;

4) ймовірність того, що за проміжок часу наступить хоч би одна подія ( , тобто проміжок часу виявиться зайнятим);

.

5) інтенсивність потоку дорівнює математичному сподіванню випадкової величини ;

.

Елемент ймовірності появи події у простому потоці – – це ймовірність появи події за елементарний (малий) проміжок часу .

Теорема 9.2. Для елементу ймовірності появи події справедливе співвідношення:

.

Доведення. Елемент ймовірності появи події є ймовірністю того, що часовий проміжок не буде порожньою.

За наслідком 4 матимемо

.

Розкладемо в ряд за ( ).

.

Відкидаємо доданки вищого порядку, починаючи з третього, і отримуємо

.

Тоді

.

Зведемо формули, що наведені раніше і які характеризують випадкову величину в таблицю 9.1.

Таблиця 9.1 – Характеристики випадкової величини

Характеристика	Формула
Інтенсивність простою потоку.
Закон розподілу пуассона випадкової величини .
Ймовірність того, що за проміжок часу в потоці не наступить жодної події.
Ймовірність того, що за проміжок часу в потоці наступить менше подій.

Продовження таблиці 9.1

Ймовірність того, що за проміжок часу в потоці наступить не менше подій.
Ймовірність того, що за проміжок часу в потоці наступить хоча б одна подія.
Елемент ймовірності появи події
Математичне сподівання випадкової величини .
Дисперсія випадкової величини .
Середньоквадратичне відхилення величини .