3.3. Метод инвариантной импульсной характеристикой

Известно, что описание аналогового фильтра во временной области, устанавливающее связь входного и выходного сигналов, имеет вид свертки:

(9)

В цифровых фильтрах это соотношение имеет вид дискретной свертки:

(10)

Метод инвариантной импульсной характеристики заключается в том, что алгоритм цифровой фильтрации формируется как алгоритм приближенного вычисления непрерывной свертки в виде интегральной суммы:

(11)

Эквивалентность (10) и (11) имеет место при условии, что импульсная переходная функция цифрового фильтра w_d(n) совпадает с точностью до постоянного множителя с дискретными отсчетами импульсной переходной функции аналогового прототипа w(nT_d):

.

Рассмотрим задачу синтеза на примере передаточной функции с простыми полюсами.В этом случае передаточную функцию (1) можно представить в виде суммы элементарных слагаемых:

.

Тогда для импульсной переходной функции получим следующее:

.

При данном методе синтеза импульсная переходная функция цифрового фильтра определяется через дискретные значения импульсной переходной функции аналогового прототипа:

.

Передаточная функция цифрового фильтра при этом будет определяться через прямое Z-преобразование импульсной переходной функции:

.

Как видим, каждое элементарное слагаемое передаточной функции непрерывного аналогового фильтра с полюсом p_k=_k+ j_k преобразуется в соответствующее слагаемое передаточной функции цифрового фильтра с полюсом:

,

а устойчивый полюс аналогового фильтра (a_k <0) из правой полуплоскости комплексной p-плоскости переходит в устойчивый полюс цифрового фильтра (|z_k |=exp(a_k T_d )<1) внутри единичной окружности на комплексной плоскости z-плоскости.

Полученная форма передаточной функции соответствует параллельной структурной схеме (рис. 3.10) цифрового фильтра.

В этой схеме каждое из Р параллельных звеньев первого порядка реализует один полюс передаточной функции z_k,q=1,2,…K, а выходной сигнал фильтра формируется как взвешенная сумма выходных сигналов отдельных звеньев. Приведя отдельные слагаемые передаточной функции к общему знаменателю, можно получить и прямую форму структуры цифрового фильтра.

Рис. 3.10

4.Методы синтеза ких-фильтров

4.1. Свойства ких-фильтров

В качестве математического описания цифрового фильтра во временной области, устанавливающего связь входного u(n) и выходного v(n) сигналов, используется дискретная свертка

, (1)

где w(n) - импульсная переходная функция (ИПФ) фильтра. Импульсная переходная функция цифрового КИХ-фильтра с конечной импульсной характеристикой отличается от нуля на конечном интервале значений дискретного аргумента от 0 до L-1 (w(n)=S_n и w(n)=0, если n<0 или n>L-1). КИХ-фильтры реализуются с помощью структурной схемы показанной на рис.1.

Рис.1.

Передаточная функция такого фильтра определяется как прямое Z-преобразование импульсной переходной функции:

(2)

После подстановки z=exp(jT_d) (T_d – интервал дискретизации) получим частотную характеристику фильтра:

(3)

При выполнении условия w(n)=w(L-1-n)=S_n (S_n - действительные числа) КИХ-фильтр обладает линейной фазо-частотной характеристикой. Действительно, при L четном можем получить:

Аргумент фазового множителя exp(-j(L-1) T_d/2) определяет

фазо-частотную характеристику фильтра, которая в данном случае линейно зависит от частоты:

Аналогичный результат имеет место и для нечетного L.

При прохождении сложного сигнала через фильтр с линейной фазо-частотной характеристикой фазовые соотношения между гармониками входного сигнала сохраняются и для соответствующих гармоник выходного сигнала, т.е. отсутствуют фазовые искажения. Действительно, если на вход фильтра передаточной функцией

,

поступает сигнал, содержащий ряд гармоник с частотами , амплитудами U_k и начальными фазами , k=1,2,…

то выходной сигнал будет иметь следующий вид:

.

При линейной фазо-частотной характеристике сдвиг фаз гармоник в фильтре равен , а выходной сигнал имеет следующий вид:

,

т.е. линейность фазо-частотной характеристики приводит к одинаковой задержке (групповому времени запаздывания) всех гармоник входного сигнала. При нелинейной фазо-частотной характеристике групповое время запаздывания определяется как производная ФЧХ по циклической частоте и для разных частот имеет разные значения. Различные временные сдвиги частотных составляющих сложного сигнала приводит к искажениям его формы. Отсутствие фазовых искажений играет исключительно важную роль в ряде прикладных задач, в которых необходимо качественное воспроизведение формы сигнала, например, в кардиографии, и энцефалографии, локации, сейсмических измерениях и т.д.

Задача синтеза КИХ-фильтра заключается определении длины импульсной реакции L и расчете значений весовых коэффициентов S_n=w(n), n=0,1,...,L-1. Рассчитанные параметры КИХ-фильтра должны обеспечить равенство передаточной функции проектируемого цифрового фильтра и желаемой передаточной функции W₀(j ) c допустимой погрешностью. При синтезе КИХ-фильтров используются главным образом два метода: метод взвешивания и метод частотной выборки.