2.2 Ряд Фурье для дискретных сигналов. Дискретное преобразование Фурье

Дискретный периодический сигнал (рисунок 2.4) должен удовлетворять следующему функциональному уравнению

,

где N – дискретный период (период в числе отсчетов), T= NT_d= N/f_d – период в длине временного интервала, f₀=1/T=f_d/N – частота дискретного периодического сигнала (частота первой гармоники).

Рисунок 2.4

Если не периодический дискретный сигнал задан на конечном числе отсчетов N, то его можно периодически продолжить на всю дискретную ось от - до +.

Такие сигналы можно разложить, как и непрерывные периодические сигналы, в ряд Фурье. Отличие ряда Фурье для дискретного случая заключается в том, что число гармоник дискретного сигнала должно быть конечным вследствие эффекта "маскировки" высших гармоник. Обычно выбирают диапазон частот [0, f_d). На этом диапазоне укладывается N гармонических составляющих с частотами nf_d/N, n=0,1,...N. В таком случае для дискретного сигнала ряд Фурье можно записать в следующем виде

.

Коэффициенты ряда Фурье можно определить из условия минимума среднеквадратичной погрешности

.

Необходимым условием минимума являются следующие уравнения

.

После ряда преобразований получим следующее

,

,

.

Сумму комплексных экспонент можно рассчитать как сумму членов геометрической прогрессии

.

Тогда окончательно получим

.

Дискретный ряд Фурье и формулу коэффициентов ряда принято записывать следующем виде

Эту пару выражений называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

2.3 Интеграл Фурье для дискретных сигналов. Z-преобразование

Как и в случае непрерывных сигналов, разложение по гармоникам для не периодического сигнала можно получить предельным переходом, устремив период к бесконечности. В этом случае дискретное преобразование Фурье переходит в Z-преобразование. Опуская математические выкладки, приведем окончательный результат

Аргумент Z-преобразования в частотной области можно записать как , т.е. z^-1 представляет собой оператор единичной задержки дискретного сигнала на один отсчет (на интервал дискретизации T_d). При такой замене U(z) дает нам спектральную плотность дискретного сигнала.

2.4 Примеры z-преобразования для дискретных сигналов

-импульс

.

Единичный скачок

.

Экспоненциальный сигнал

.

Дискретные гармоники

3. Методы синтеза цифровых бих-фильтров

Фильтрация сигналов, при которой осуществляется селекция полезных составляющих сигнала и подавление других его компонент (помех), является одной из основных задач обработки сигналов. Цифровые фильтры обладают целым рядом преимуществ по сравнению с аналоговыми фильтрами. Прежде всего, это стабильность, гарантированная точность и идентичность, возможность оперативной программной перестройки структуры и параметров фильтров. Эти свойства в сочетании с возможностями современной схемотехнической технологии обусловливает широкое применение цифровых фильтров при решении разнообразных прикладных задач.

Выбор типа, структуры и параметров фильтра определяется целями, поставленными при обработке сигналов в условиях конкретной практической задачи. Обычно требования к фильтрам формируются при анализе спектрального состава мешающих помех и полезного сигнала, содержащего необходимую информацию. Фильтр должен обеспечить максимально возможное подавление спектральных компонент помехи при минимально допустимых динамических искажениях полезного сигнала.

На рис. 3.1 и 2 в качестве примера фильтрации приведены временные и спектральные диаграммы сигналов и помех.

а)

в)

б)

г)

Рис. 3.1

В этом достаточно типичном случае полезный сигнал s(t) (показан рис. 3. 3.1 а, его спектр S(f) – рис. 3. 3.1 в) представляет собой сравнительно низкочастотный процесс (ниже 1 кГц). На него наложены высокочастотные пульсации с частотой 2 кГц и шумовые помехи r(t) – рис. 3. 3.1 б (спектр помехи R(f) – рис. 3. 3.1 г). Практически для обработки доступна только сумма полезного сигнала и помехи u(t)=s(t)+r(t) (суммарный сигнал показан на рис. 3. 3.2 а, а его спектр U(f) – на рис. 3.2 в).

а)

в)

б)

г)

Рис. 3.2

Чтобы выделить полезный низкочастотный сигнал из смеси сигнала и помехи, необходимо использовать фильтр нижних частот (ФНЧ) с соответствующей полосой пропускания. Амплитудно-частотная характеристика используемого фильтра показана пунктиром на рис. 3.2 в.

Как видно из временных диаграмм выходного сигнала фильтра v(t) – рис. 3.2 б и его спектра V(f) – рис. 3.2 г, фильтр нижних частот пропускает полезный сигнала s(t) (на рис. 3.2 б показан пунктирной линией) и существенно ослабляет помеху. Полезный сигнал при этом также несколько искажается.

Таким образом, можно выбирать гипотетический фильтр, который называют аналоговым прототипом синтезируемого цифрового фильтра. Его характеристики, задаваемые обычно в виде дробно-рациональной передаточной функции или частотных и временных характеристик, представляют собой исходные данные для задачи синтеза цифрового фильтра (p – оператор дифференцирования):

, (1)

Задача синтеза цифрового фильтра заключается в определении передаточной функции цифрового фильтра, эквивалентного аналоговому прототипу, в расчете его параметров и в разработке алгоритма цифровой фильтрации.

Цифровые фильтры имеют ряд принципиальных отличий от аналоговых, связанных с тем обстоятельством, что входной и выходной сигналы аналоговых фильтров u(t) и v(t) являются непрерывными функциями времени (например, изменяющимся во времени напряжением), а сигналы цифровых фильтров u(n) и v(n) представляют собой дискретные последовательности чисел. На рис. 3.3 показаны графики входного и выходного сигналов аналогового фильтра u(t) и v(t) (рис. 3.3 а и в) и цифрового фильтра u(n) и v(n) (рис. 3.3 б и г).

Ясно, что дискретность по времени цифровых сигналов в принципе исключает возможность полного совпадения характеристик цифрового фильтра и аналогового прототипа. При цифровой фильтрации непрерывный по времени аналоговый сигнал с помощью аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) заменяется числовой последовательностью дискретных отсчетов аналогового сигнала, взятых через интервал дискретизации T_d, u_d(n)= =u(nT_d), n=1,2,…

а)

в)

б)

г)

Рис. 3.3

Цель синтеза цифрового фильтра заключается в том, чтобы цифровой тракт (аналого-цифровой преобразователь и цифровой фильтр) вырабатывал для заданного класса аналоговых входных сигналов u(t) последовательность числовых отсчетов v(n), совпадающих с гарантированной точностью с дискретными значениями выходного сигнала гипотетического аналогового фильтра‑прототипа v(t).Следовательно, цифровой тракт следует проектировать таким образом, чтобы показанные на рис. 3.4 аналоговый и цифровой тракты вырабатывали одинаковые сигналы v_d(n)v(nT_d).

Рис. 3.4

Первое необходимое условие эквивалентности цифрового фильтра и аналогового прототипа – это рациональный выбор интервала дискретизации. Интервал дискретизации T_d (частота дискретизации f_d=1/T_d) для сигналов с ограниченной шириной их спектра должен выбираться в соответствии с теоремой Котельникова

,

где =2f_т, - ширина спектра сигнала и(t), f_d - частота дискретизации. Реально частоту дискретизации выбирают в 5-10 раз больше ширины спектра аналогового сигнала:

f_d=(5–10)f_m.

Аргумент p передаточной функции (1) аналогового прототипа представляет собой оператор дифференцирования: p=d/dt, а сама передаточная функция определяет дифференциальное уравнение аналогового фильтра

. (2)

Однако дифференцировать можно только непрерывные функции, а для дискретных числовых последовательностей операция дифференцирования не определена. Следовательно, цифровые фильтры в отличие от аналоговых фильтров не могут иметь математическую модель в виде дифференциального уравнения. Смысл практически всех методов синтеза цифровых фильтров сводится к замене операции дифференцирования некоторым дискретным эквивалентом.

Среди цифровых фильтров выделен класс БИХ-фильтров, т.е. фильтров с бесконечно протяженной импульсной переходной функцией. В лабораторной работе изучаются основные методы синтеза цифровых фильтров данного типа.