1.4 Принцип суперпозиции

Полученные соотношения позволяют сравнительно просто решать задачи анализа цепей на переменном токе (при синусоидальных сигналах) в установившихся режимах. Задачи анализа прохождения сложных сигналов через подобные цепи решаются значительно сложней.

В основе методов решения таких задач лежит принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции позволяет выделить класс линейных систем, которые обладают свойствами однородности и аддитивности.

Однородность означает, что усиление входного сигнала в k раз не изменяет формы выходного сигнала, но усиливает его также в k раз, т.е.

.

Аддитивность предполагает, что реакция системы на сумму двух сигналов равна сумме реакций системы на каждый двух сигналов

.

Линейные разложения сигналов. Принцип суперпозиции позволяет представить сложный входной сигнал в виде суммы (конечной или бесконечной) элементарных сигналов и решать задачу о прохождении элементарных составляющих через системы. Выходной сигнал при этом будет определяться суммой реакций на каждую элементарную составляющую

.

Линейные разложения сигналов по собственным функциям. Так как для оператора дифференцирования собственной функцией является экспоненциальная функция (и связанные с ней гармонические функции), то целесообразно, используя принцип суперпозиции, представлять сложные сигналы в виде разложения по этим функциям. Если входной сигнал динамической системы можно представить в виде суммы гармонических колебаний

то выходной в установившемся режиме также можно представить в виде аналогичного ряда

причем комплексные амплитуды для ряда выходного сигнала можно определить по передаточной функции системы

Такой механизм решения различных задач анализа динамических систем составляет суть спектрального метода.

Для реализации спектрального метода необходимо освоить методы линейного разложения произвольных сигналов по гармоническим составляющим.

1.4 Ряд Фурье

Практически все существенные для инженерной практики периодические сигналы можно разложить в ряд Фурье.

Рисунок 1.9

Определением периодического сигнала служит функциональное уравнение

.

Наименьшее T, удовлетворяющее этому равенству, называется периодом сигнала, обратная величина частотой f=1/T, ₀=2/T– циклической или круговой частотой.

Ряд Фурье для периодического сигнала можно представить в разных формах:

квадратурной

,

амплитудно-фазовой

,

экспоненциальной

.

Ряд Фурье включает дискретный набор гармонических составляющих, частота которых кратна частоте сигнала n₀.

Коэффициенты ряда Фурье в разных формах связаны между собой и определяются следующими соотношениями:

для квадратурной формы ряда Фурье

для экспоненциальной формы ряда Фурье

.

Для амплитудно-фазовой формы ряда Фурье явного самостоятельного выражения амплитуды и фазы гармоник нет. Они определяются через коэффициенты квадратурной и экспоненциальной формы

.

Связь коэффициентов ряда Фурье для других форм приведена ниже

.

Рисунок 1.10

1.5 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Непериодический (одиночный) сигнал можно рассматривать как предельный случай периодического сигнала с бесконечным периодом. Поэтому если взять ряд Фурье с формулами коэффициентов ряда и в этих выражениях устремить период к бесконечности, то в результате получим разложение по гармоническим составляющим для непериодического сигнала. На рисунке 1.11 показан спектр последовательности прямоугольных импульсов длительностью 0,1 с при последовательном удвоении его периода от 0,2 с до 1,6 с.

Рисунок 1.11

Из рисунка видно, что при удвоении периода снижается амплитуда гармоник, но увеличивается их плотность на оси частот. В предельном случае амплитуда гармонических составляющих станет бесконечно малой, но спектр полностью заполняет всю ость частот.

Формально, подставляя выражение для коэффициентов в ряд Фурье и выполняя предельный переход, получим следующее

.

Разделив полученное выражение на две формулы, получим прямое и обратное преобразование Фурье (интеграл Фурье)

Фактически интеграл Фурье позволяет представить произвольный сигнал в виде суммы гармоник с комплексными амплитудами . Модуль называют амплитудным спектром, а аргумент – фазовым спектром сигнала.