6. Приложения производной и дифференциала функции

1. Формула Тейлора.

Приближение функции в окрестности точки   многочленом может быть удобно в работе с этой функцией.

, где остаточный член  , например, в форме Лагранжа, имеет вид  , где   (вообще говоря,   зависит от   и  ).

Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при  ) для некоторых элементарных функций:

.;

.

;.

.

;.

7. Исследование функции с помощью производной

Определение 1. Функция  называется возрастающей (убывающей) на промежутке  , если для любых   имеет место:

.

Теорема 1. Пусть   имеет производную в каждой точке из  . Тогда   возрастает (убывает) на   в том и только в том случае, когда для любого  .

Определение 2. Точка   называется точкой максимума  , если существует окрестность   такая, что   определена в этой окрестности и для любого 

Определение 3. Точка   называется критической точкой функции  , если   не определена в этой точке или  .

Теорема 2. 1) если   – точка экстремума функции  , то она является крити­ческой точкой этой функции;

2) если   – критическая точка функции  , причем для    , a для     в некоторой окрестности  , то   – точка минимума;

3) если   – критическая точка функции  , причем для    >0, а для    <0 в некоторой окрестности  , то   – точка максимума.

8. Функции нескольких переменных. Частные производные различных порядков

Область определения

Область определения функции нескольких переменных – некоторая область в плоскости XOY.

График функции двух переменных

Графиком функции двух переменных в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции.

Непрерывность функции двух переменных 

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Если в некоторой точке не выполняется условие непрерывности функции, то эта точка -точка разрыва функции.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x_i (iизменяется от 1 до n, i = 1, 2,… n), f(x1, x2,… x_n), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x_i . Частная производная 1-ого порядка по x_i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x_i, сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

f_xn, или 

9. Определение и свойства неопределённого интеграла

 Функция   называется первообразной функции  , если выполняется равенство  . Функция, производная которой на некотором промежутке F(х)=0 постоянна на этом промежутке. Если   - одна из первообразных функции  , то любая другая первообразная имеет вид  .

 Свойства:

1.Деференциал неопред.интеграла = подинтегральному выражению, производная = подинтегральной функции d ; ( =f(x);

2.Алгебраическая сумма функций = алгеб.сумме неопред. интегралов этих функций.

3. Подинтегральный множитель выражения можно выполнить под знак интеграла

10. Определение и свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Определенным интегралом f(x) на отрезке [a,b] назыв. Предел интегральной функции при условии, что длина наибольшего из отрезков стремится =0.

Свойства:

1. Формула Ньютона-Лейбница если а=b, то интеграл =0

2. Если a>b то = -

3. Если a b любые числа то =

4. Постоянный множитель можно вынести

5. Определенный интеграл алгебр. суммы функции=алгебр. сумме их интегралов

11. Основные методы интегрирования(неопред. интеграл)

1. С помощью таблицы интегралов

2. Метод подстановки с помощью введения новой переменной

| x=¥(t) | (t)dt

3. Метод интегрирования по частям

(x)dx=u(x) v(x) - (x)dx

Основные методы интегрирования(опред. интеграл)

1. С помощью формулы Ньютона-Лейбница

2. Метод подстановки с помощью введения новой переменной

(¥(t))* (t)dt

3. Метод интегрирования по частям

-

12. Геометрический смысл определенного интеграла

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 

y = 0, x = a, x = b, y = f(x) 

13. Приложения определённого интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции Sтр.= dx

2. Объем тела вращения V= (x)dx S=2