Тема 1 Математический анализ

1. Функции одной независимой переменной

Нахождение производной называется дифференцированием функции.Производная функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю. =

Чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную(число). Если функция дифференцируема в данной точке, то она не прерывна в этой точке.

Задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

2. Производная, её механический смысл

Производная используется для вычисления скорости и ускорения различный физических тел. Мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом Производная от координаты по времени есть скорость. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.

3. Правила дифференцирования. Формулы производных

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функцийj и f, то  , или  ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем    ≠ 0, то  .  

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)' =  u^1 u' ( принадлежит R¹ )

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9.(ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть мы нашли для функции y = f(x) ее производную y ^'= f ^'(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается  . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка -  , производная четвертого порядка -   и вообще производная n-го порядка -  .

Частная производная функции u=f(x,y) это предел отношения частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой при условии, что последнее приращение стремится к нулю = x; = у;

5. Геометрический смысл производной

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.