13. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

,где a – заданные непрерывные функции

Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы какого-либо частного решения y^*=y^*(x) этого уравнения и и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е.

y= y^*+ или y= y^*(x) +C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+…+ C_ny_n

14. Метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка постоянными коэффициентами. Два случая специального вида правой части уравнения.

Если правая часть f(x) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида

где P_n(x), Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.

В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения.

• Так, например, для функции

частное решение имеет вид

где A_n(x) − многочлен той же степени n, как и P_n(x). Коэффициенты многочлена A_n(x) определяются прямой подстановкой пробного решения y₁(x) в неоднородное дифференциальное уравнение.

В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель x^s, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают s = 0.

• Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде

Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как

где A_n(x), B_n(x) − многочлены степени n (при n ≥ m), а степень s в дополнительном множителе x^s равна кратности комплексного корня α ± βi в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел α и β с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, s = 0 в нерезонансном случае.