10. Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение.

Линейным однородным уравнением n-го порядка называют уравнение вида

a – заданные непрерывные функции относительно x, так же коэффициенты уравнения.

Частные решения y₁=y₁(x) , y₂=y₂(x), …, y_n=y_n(x) уравнения образуют фундаментальную систему некотором интервале , если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского

.

• С постоянными коэффициентами т.е.

a – заданные действительные числа

Общее решение будет y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+…+C_ny_n(x)=0 y₁(x) ,y₂(x),…, y_n(x) - частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале т.е. всюду отличен от нуля определитель Вронского. Частные решения будем искать в виде y=e^kx

Подставив в уравнение и преобразовав получим характеристическое уравнение

Уравнение имеет n решений. Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число α+iβ является корнем, то сопряжённое число α -iβ тоже является корнем, так как уравнение имеет действительные коэффициенты.

• Каждому простому действительному корню k характеристического уравнения соответствует одно решение e^kx исходного уравнения .

• Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения отвечают r решений исходного уравнения вида e^kx, xe^kx, x²e^kx, …, x^r-1e^kx исходного уравнения

• Каждой паре комплексно сопряжённых корней k₁= α+iβ и k₂= α-iβ характеристического уравнения соответствует одна пара частных решений исходного уравнения

e^αxcosβx и ie^αxsinβx

• Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности μ k₁= α+iβ и k₂= α-iβ характеристического уравнения отвечают μ пар решений исходного уравнения

11. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного диф. Уравнения второго порядка.

Общее решение данного уравнения представляется в виде суммы какого-либо частного решения y^*=y^*(x) этого уравнения и и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е.

y= y^*+ или y= y^*(x) +C₁y₁(x)+C₂y₂(x)

Для доказательства нужно два факта:

1. Сумма y^*+ удовлетворяет исходному уравнению при любых значениях входящих в него постоянных С₁ и С₂.

Подставляя данную сумму в исходное уравнение получим

но - общее решение соответствующего однородного уравнения следовательно вторая скобка обращается нуль, а первая скобка равна f(x). Таким образом получаем тождество, что означает данная сумма удовлетворяет исходному уравнению.

2. Для любых начальных условий можно подобрать такие значения постоянных С₁ и С₂ , при которых функция y= y^*(x) +C₁y₁(x)+C₂y₂(x) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Через определитель Вронского начальных условий

12. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

y^*= C₁(x)y₁ +C₂(x)y₂ , где C₁(x) и C₂(x) – новые искомые функции. Одну из них можно выбрать произвольно или наложить на неё дополнительные требования, а вторую выбрать так чтобы функция y^*= C₁(x)y₁ +C₂(x)y₂ была решением неоднородного уравнения.

Возьмём производную и получим возьмём что

Тогда . Возьмём ещё раз производную и представим представим что y^* решение неоднородного уравнения т.е.

Но поскольку y₁ и y₂ – решения однородного уравнения суммы в скобках обращаются нуль получаем

запишем вместе с и получим систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных :

Решив систему найдём , . Интегрируя получим:

, ,где и - произвольные постоянные, которые примем равные нулю. Подставляя найденное в y^*= C₁(x)y₁ +C₂(x)y₂ получим искомое частное решение неоднородного уравнения y^*= y₁ + y₂