Дробный факторный эксперимент (дфэ)

Планы полнофакторного эксперимента очень эффективны, но с ростом n объём вычислений резко возрастает. В ряде случаев нужно определить не все коэффициенты регрессии, а лишь только часть, например, при факторах . ПФЭ в этом случае несет избыточную информацию. В подобных ситуациях переходят к планам, представляющим собой части ПФЭ, например 1/2, 1/4 полного плана . Такие (урезанные) планы называются дробными (ДФЭ).

Так, например, план для 3 факторов, содержащий только 4 опыта, называют ДФЭ . План для 5 факторов, содержащий 8 опытов, называется ДФЭ .

П лан ДФЭ строится также , как план ПФЭ для меньшего числа факторов, а оставшиеся факторы варьируются (представляются) как произведение факторов, включенных в первую группу. При этом, в матрице планирования возникают одинаковые столбцы, т.е. соответствующие коэффициенты становятся неразличимыми. Можно судить лишь об их совместимой величине. План ДФЭ

Факторы , будем варьировать также, как в ПФЭ . Фактор = - как генерирующее соотношение.

Заполнив столбцы для взаимодействия факторов, обнаружим в таблице четыре пары одинаковых столбцов. Это означает, что неотличим от ,

- от , - от , - от . Это не представляет опасности, если коэффициенты двойного и тройного взаимодействия незначимы. Иначе нужно пользоваться ПФЭ.

Обычно дробными планами пользуются, когда n > 5, т.к. там удается смешивать коэффициенты при факторных и двойных взаимодействиях с коэффициентами при тройных и более высоких взаимодействиях, которые обычно влияют слабо.

В качестве основы построения дробной реплики для r – факторов используется такой минимальный полный план для n факторов, что выполняется неравенство , где n столбцов соответствуют полному плану для n факторов.

ПФЭ и его дробные реплики можно представить в следующей таблицей:

	Факторы			Функция отклика	Дробные реплики
1	-	-	-				=
2	+	-	-
3	-	+	-
4	+	+	-
5	-	-	+				= -
6	+	-	+
7	-	+	+
8	+	+	+

Коэффициенты для ПФЭ имеют вид:

Модель имеет вид:

Статистическая обработка эксперимента

Статистическую обработку результатов законченного эксперимента начинают с нахождения дисперсии воспроизводимости , затем проверяют значимость отдельных коэффициентов регрессионной модели. Далее определяют оценку дисперсии адекватности и проверяют адекватность всего уравнения регрессии.

Для нахождения оценок математического ожидания и дисперсии проводят серии параллельных опытов во всех или в некоторых точках факторного производства, задаваемого матрицей планирования Х.

Пусть проведена серия из параллельных опытов, где u =1….N – номер строки плана. Если для всех строк матрицы Х , то результаты этих параллельных опытов можно представить матрицей

При это не матрица. Элементы матрицы Y расположенные в строках позволяют вычислить построчные средние и оценки дисперсий:

При одинаковых условиях эксперимента увеличение числа повторных опытов повышает надежность этих оценок. Иногда числа повторных опытов называют весами измерений. Из этих весов можно составить диагональную матрицу:

Если экспериментальные данные представлены матрицами X, P, , то для расчёта коэффициентов модели можно воспользоваться формулой:

В статистике при вычислении выборочной дисперсии используют понятие числа степеней свободы.

Число степеней свободы определяется разностью между числом различных опытов, по которому оценивалась дисперсия и числом констант, найденных по тем же опытам. Для построчных дисперсий число степеней свободы , так как по этим же - опытам находилось построчное среднее, которое входит в формулу для дисперсии. Для оценки дисперсии воспроизводимости, которая характеризует ошибку всего эксперимента, используют взвешенное среднее построчных дисперсий.

,

где - число степеней свободы всего эксперимента.

Эта дисперсия показывает, насколько хорошо воспроизводятся значения отклика в случае постановки нескольких опытов при неизменных значениях факторов, иначе, точность эксперимента.

Для . Здесь .

В соответствии с предпосылками регрессионного анализа пользоваться построчными средними для определения коэффициентов полинома можно только если построчные дисперсии являются однородными, Т.е. незначительно различаются между собой. При равномерном дублировании опытов однородность ряда построчных дисперсий определяется по критерию Кохрена.

Эту экспериментальную статистику сравнивают с табличным значением при степенях свободы и уровне значимости

Если , то ряд дисперсий считается однородным.

При ортогональном планировании и наличии n повторных опытов формулы для оценок дисперсии коэффициентов регрессионной модели имеют вид:

Доверительный интервал для каждого i-го коэффициента регрессии определяется по критерию Стьюдента, имеет ширину

Коэффициент считается значимым, если .

Чем меньше доверительный интервал при заданном значении уровня значимости, тем с большей надежностью определяется значимость коэффициента регрессии. При заданном плане эксперимента уменьшать доверительный интервал можно за счет увеличения числа повторных опытов.

В качестве меры адекватности уравнения регрессии применяется дисперсия адекватности.

,

где - число степеней свободы; L - число коэффициентов в уравнении регрессии после отбрасывания незначимых.

Все три дисперсии связаны между собой соотношением . Здесь дисперсия остатка

Для адекватной модели оценка дисперсии воспроизводимости и оценка адекватности должны быть однородны. Однородность проверяется по критерию Фишера:

Если это неравенство выполняется, то регрессия адекватно воспроизводит результаты эксперимента.