1.4. Введение в планирование эксперимента. Математический аспект

Под экспериментом понимают создание некоторого комплекса условий , в результате которых могут наступать или не наступать события из некоторого заданного множества и поэтому предметом теории эксперимента служит изучение отображения - комплекса условий на - множество результатов эксперимента. Если результат эксперимента зависит от случая, то эксперимент называют статистическим.

Возможность планирования эксперимента обусловлена тем, что интересующий результат может быть получен при различном комплексе условий . Пусть - множество условий, которые может выбрать экспериментатор. Если множество не пусто, и стоимость эксперимента – то такой эксперимент называется активным.

Введём критерий качества эксперимента, который зависит от выбора , . Эта функция должна быть ограничена, например, снизу. Тогда

,

где - план; - оптимальный план.

Многие экстремальные ситуации таковы, что нельзя обойтись одним критерием оптимальности, но можно указать множество критериев , каждый из которых желательно минимизировать выбором .

Если является точкой n - мерного евклидова пространства и принимает конечное число s Значений, то множество – (s-1)-мерное многообразие, определяемое как множество решений задачи

, (1)

называется множеством Парето.

Если часть не являются выпуклыми, то множество Парето будет содержать точки не являющиеся решением задачи (1). Линейная комбинация критериев , для выпуклых функций является компромиссным критерием. Другим компромиссным критерием может служить критерий Специфической задачей теории планирования эксперимента является конструирование критерия его оптимальности.

Обычно экспериментатор до проведения эксперимента располагает сведениями об изучаемом явлении. Для применения математической теории требуется формализация этой информации. Пусть результатом эксперимента является реализация случайной функции , , где - случайное событие. Если при фиксированных , j=1,…N восстанавливается функция , то такой эксперимент относят к числу регрессионных. Априорная информация состоит в указании множества F - функций, к которому принадлежит . Наиболее простой случай параметрического задания Здесь – известная функция, а параметр из заданного параметрического множества - называют регрессионной моделью.

Для подбора параметра необходимы также сведения о распределении ошибки Если совместное распределение известно также с точностью до параметра . то задача определения – является параметрической задачей математической статистики. Параметр . Оценивается с помощью статистики , параметр оценивается с помощью статистики Оказывается, что погрешность зависит от выбора точек , в которых вычисляется функция y. Это даёт возможность построить критерий качества эксперимента и планировать эксперимент.

Тема 2. Планирование эксперимента Постановка задачи

Пусть некоторое свойство, фактор или признак, представленный одним из столбцов матрицы наблюдений, зависит от всех остальных факторов. Характер этой зависимости необходимо выяснить:

Задавая различные совокупности значений факторов можно получить как угодно много информации о функции Y. Модель исследуемого объекта в виде семейств кривых при числе независимых переменных > 3 непрактична и неудобна.

Если априори предположить определенный вид функции не представляется возможным, то используют ее разложение в степенной ряд вида:

Обычно ограничиваются конечным числом членов разложения, аппроксимируя функцию Y полиномом некоторой степени. Задача состоит в нахождении коэффициентов разложения на различных сочетаниях независимых переменных. Если полученный таким образом полином согласуется с новыми (дополнительными) данными, то цель достигнута. Такая формализация Y не противоречит техническому содержанию задачи и значение Y – всегда измеримо т.е. является числом. Принято называть Y - функция отклика (цели), а - факторами. Факторы обладают тем свойством, что исследователь может менять их значения, т.е. работая с объектом задавать различные сочетания факторов.

Действия над объектом – активный эксперимент. Если действие невозможно, то эксперимент пассивный. Если каждому фактору соотнести координатную ось, то образованное таким образом пространство называют факторным.

Чтобы освободится от размерностей, производится кодирование факторов.

Операция кодирования сводится к переносу факторного пространства в точку с координатами:

И выбору для каждого фактора нового масштаба, такого, чтобы , .

Факторы в новой системе координат будут связаны с исходными:

Основное уравнение отклика в новых координатах: