Устойчивые методы оценивания

В современной теории устойчивого оценивания широко представлены три класса оценок: М-оценки; L-оценки; R-оценки.

М-оценки получают, решая следующую задачу оптимизации:

Выбирается такая метрика, которая растет медленнее, чем . В качестве метрики используется следующее выражение:

Константу c связывают с интенсивностью грубых ошибок уравнением:

Такой выбор обеспечивает минимальную дисперсионную матрицу оценок коэффициентов модели. - выбирается, ориентируясь на максимальное предполагаемое загрязнение данных, например для

L-оценки. В построении таких оценок главное, это получение вариационного ряда остатков:

L–оценки параметров регрессионной модели находят решением следующей оптимизацией задачи:

Устойчивость этих оценок достигается подходящим выбором функции . Ее выбирают таким образом, что часть остатков, расположенных на краях вариационного ряда получает меньшие веса. Вся процедура состоит из 6 шагов:

1. Вычисляется по МНК

2. Вычисляем остатки

3. Строим вариационный ряд остатков

4. Выбирается уровень усечения вариационного ряда . Исключаются из вариационного ряда - самые малые и самые большие остатки.

5. Из вектора наблюдений исключаются те, которые соответствуют исключенным остаткам.

устраняется , если соответствующий ему остаток или

5. Получаем МНК-оценки коэффициентов модели на основе усеченного ряда наблюдений ,

где X^* - получается из матрицы X после вычеркивания строк, соответствующих исключенным наблюдениям.

R-оценки – используют ранги (порядковый номер в вариационном ряду). R-оценки получают решая следующую минимизационную задачу:

,

где – весовая функция, а ранг величины определяется равенством

Чтобы обеспечить устойчивость оценок к грубым ошибкам выражают следующим образом:

,

Здесь , - определяет долю остатков на краях вариационного ряда остатков. Она зависит от степени загрязнения.

57