Оптимизация функции отклика

Большой класс задач связан с нахождением экстремальных значений функции отклика. Во-первых это даёт представление об наиболее эффективных условиях эксплуатации технических устройств, во вторых позволяет назначить пределы изменения параметров. Приближённое математическое описание объекта исследований по планам ПФЭ или ДФЭ в виде линейной модели

позволяет находить область оптимума путём движения с помощью однофакторного эксперимента или по градиенту, так как коэффициенты b_i являются оценками частных производных, т.е. компонентами градиента функции отклика .

e₁,e₂,…….e_k – орты факторного пространства.

Для того, чтобы в много факторном пространстве {x_i} двигаться из центра плана по градиенту к экстремуму функции нужно прибавить к координатам центральной точки величины .

Величина и знак  определяют длину шага и направление по градиенту или антиградиенту. Эффективность крутого восхождения зависит от ориентации осей в факторном пространстве. Расчёт движения к оптимуму производят следующим образом.

1. Один из значимых факторов принимают за базовый и для него находят произведение , которое представляет собой оценку ,

- область вариации переменной.

2. Для этого фактора выбирают первый шаг движения к оптимуму Обычно . Выбранный множитель позволяет рассчитать для всех остальных факторов шаги движения к оптимуму.

Движение к оптимуму прекращают, если значения хотя бы одного из факторов или параметров оптимизации вышли за допустимые границы или достигнута область экстремума – такая окрестность оптимума в которой линейные коэффициенты регрессии становятся незначимыми . При достижении стационарной области ищут новую математическую модель, достраивая реплики до ПФЭ или переходя к планам второго порядка.

Рис. Поиск экстремального значения. Траектория A, C, D – по методу однофакторного эксперимента. Траектория A, B – по методу крутого восхождения.

Далее приведены примеры оптимизации методом крутого восхождения.

Симплекс планирование

Всегда привлекательно воспользоваться безградиентными методами. Они связаны с простыми вычислениями, устойчивы к локальным экстремумам. При последовательном симплекс планировании (ПСП) для каждого шага к оптимуму требуется один опыт. План эксперимента располагается в вершинах симплекса. Симплексом называется правильный выпуклый многогранник, имеющий k+1 вершину в k – мерном факторном пространстве. Для k=2 правильным симплексом будет равносторонний треугольник с вершинами (1, 2, 3). При k=3 – тетраедр.

Применение правильных симплексов упрощает процедуру последовательного расчёта вершин симплекса и, кроме того правильный симплекс соответствует рататабельному планированию. Процедура состоит в выборе начального симплекса и последовательном отражении его вершины с наихудшим откликом в новую точку относительно противоположной грани. Процесс заканчивается при достижении экстремальной области.

Рис. Поиск экстремального значения. Траектория при ПСП.

Пример

Начнём с постановки опытов 1, 2, 3 в вершинах начального симплекса. Начальный симплекс располагают в факторном пространстве на основе априорной информации об объекте исследования. Результаты опытов ранжируют по величине отклика. Выбирают наихудший результат. В данном случае это точка 1. На грани 2 – 3, противолежащей точке 1 строят новый правильный симплекс 2, 3, 4. Причём построение этого симплекса состоит в расчёте координат одной точки 4. Ранжируют, выбирают наихудший результат и рассчитывают вершину следующего симплекса – точку 5. Координаты каждой новой вершины симплексов . Рассчитывают по формуле

Здесь: k - число факторов; u - номер опыта (т.е вершины симплекса); - координата i -го фактора в наихудшем опыте.

Если на протяжении k+1 шага в эксперименте одна вершина симплекса сохраняет своё положение, то такая ситуация называется зацикливанием. В этом случае рекомендуется повторить поиск оптимума из другой точки факторного пространства и с симплексом другого размера. Окончание поиска в тойже области свидетельствует о нахождении оптимума.