Исследование области оптимума представленной полиномом второй степени

В результате выполнения плана второго порядка получают полином второй степени, адекватно описывающий область оптимума:

(*)

Уравнение второй степени в таком виде анализировать сложно, поэтому путём преобразований его приводят к канонической форме. Для этого выбирают новую систему координат путём параллельного переноса старой системы в новое начало и поворачивают оси относительно этого начала. Стандартный вид канонического уравнения

Здесь – уровень отклика; - уровень отклика в новой системе координат; - канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов; - коэффициенты уравнения регрессии.

Первым этапом канонического преобразования является перенос начала координат в особую точку – центр поверхности отклика. Для нахождения этой точки решают систему уравнений, каждое из которых получается дифференцированием исходного уравнения (*) по каждой независимой переменной

- система из k линейных уравнений.

Если определитель этой системы уравнений равен нулю, то поверхность отклика не имеет центра. В этом случае начало координат не переносят или переносят в точку с наилучшим значением (ближе к оптимальному) уровня отклика.

Если определитель этой системы уравнений неравен нулю, то решая эту систему, находят координаты центра поверхности в старой системе координат. При параллельном переносе исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и взаимодействиях инвариантны относительно переноса.

Подставляя найденные значения координат центра s в исходное уравнение (*) определяют значение в начале новой системе координат. После параллельного переноса координатных осей исходное уравнение (*) принимает вид

,

где - новые координаты.

Вторым этапом канонического преобразования является поворот координатных осей в новом начале координат до совмещения их с главными осями геометрической поверхности, соответствующей изучаемой функции отклика. При повороте координатных осей исчезают члены с коэффициентами взаимодействия и изменяются коэффициенты при вторых степенях. Свободный член инвариантен относительно поворота координатных осей. В результате получают уравнение в канонической форме

Для определения коэффициентов необходимо решить характеристическое уравнение

=0

Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами регрессии .

Пример

Привести к канонической форме уравнение, полученное в результате реализации плана второго порядка:

(*)

I – этап. ;

. Поверхность имеет центр. Координаты центра

;

Подставляя и в уравнение (*) находим . После параллельного переноса координатных осей уравнение примет вид

II – этап. Решаем следующее характеристическое уравнение:

; ;

Правильность вычислений проверяется сравнением сумм коэффициентов при квадратичных членах .

При после канонического преобразования уравнения регрессии легко определить к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика. При k=2 этот геометрический образ представляется в виде контурных линий. Каждая линия является проекцией сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа при значениях параметра оптимизации Такие линии называют линиями равного отклика.

Если и имеют одинаковые знаки, то это эллипсы (экстремум в центре s). Если , то экстремум – максимум то минимум. Эллипс вытянут по той оси, которой соответствует меньший по абсолютной величине коэффициент в каноническом уравнении.

Если и – имеют разные знаки то линии уровня – гиперболы. Они соответствуют поверхности отклика типа минимакса. Параметр оптимизации увеличивается при движении из центра фигуры по одной оси и уменьшается при движении по другой оси. Выбирается направление движения в зависимости от того, что интересует исследователя – максимум или минимум.

Если коэффициент - параллельные линии соответствуют поверхности отклика представляющей собой стационарное возвышение. Под определение центра подходит любая точка на оси X₂.

Параболы соответствуют поверхности отклика типа нарастающего возвышения. При коэффициенте центр фигуры находится в бесконечности. Начало координат помещают в точку C вблизи центра эксперимента на оси X₂ и получают уравнение параболы

- коэффициент, определяющий скорость увеличения параметра оптимизации по оси X₂.

При числе факторов k=0:

1. Эллипсоид вращения экстремум в центре если все имеют одинаковые знаки.

2. Если два коэффициента имеют одинаковые знаки, а третий близок к нулю, то поверхность отклика – эллиптический цилиндр. В этом случае ось соответствующая незначимому коэффициенту является линией максимума.

3. Если один коэффициент близок к нулю область оптимума может также характеризоваться эллиптическим параболоидом, центр фигуры на бесконечности.

4. Если знак одного из коэффициентов противоположен знакам двух других, то область оптимума характеризуется одно или двухполостным гиперболоидом.

5. Когда два коэффициента близки нулю, область оптимума может характеризоваться серией параллельных плоскостей одна из которых соответствует наибольшей величине параметра оптимизации.

При k > 3 наглядное представление о геометрическом образе функции отклика становится невозможным. Если поверхность отклика имеет явный экстремум, то решение экстремальной задачи заканчивают после приведения уравнения к канонической форме. Если поверхность типа минимакса или возрастающего гребня то приходится искать условный экстремум.