Ортогональное планирование второго порядка

Условие ортогональности для ЦКП второго порядка не выполняется

, так как .

Квадраты не могут быть все = 0, иначе это означало бы, что фактор не исследуется. Для того, чтобы добиться ортогональности, по аналогии с линейными планами ПФЭ и ДФЭ , которые обладают свойством ортогональности, необходимо преобразовать квадраты факторов и специальным образом выбрать величину звездного плеча.

Вместо квадратов факторов вводят новые переменные:

В результате условие ортогональности соблюдается.

,

т.к.

Например: при двухфакторном плане вместо и выбирают:

Тогда

.

Аналогично, условие ортогональности выполняется и для второго фактора. Из условия ортогональности преобразованных столбцов получают уравнение для определения звездного плеча:

2	3	4	5

2	3	4	5
1	1	1	1

2	3	4	5
4	6	8	10

2	3	4	5
1	1,215	1,414	1,547

длина звездного плеча α =

Для двух факторов k= 2, , (по таблице)

обеспечивает ортогональность ЦКП для 2 факторов

При ортогональном планировании второго порядка на число опытов в центре плана не накладывают ограничений, обычно ставят всего один опыт. Реализация матрицы ЦКОП позволяет построить модель, содержащую преобразованные квадратичные члены:

В силу ортогональности планирования все коэффициенты этой регрессии определяются независимо друг от друга по формулам:

Чтобы перейти к уравнению регрессии в обычной форме, находят величину:

Дисперсия воспроизводимости определяется также, как и раньше, т.е.

Ортогональность плана позволяет также просто рассчитать дисперсию коэффициентов регрессии:

Дисперсия преобразованного свободного члена уравнения регрессии вычисляется по формуле:

Дисперсия коэффициентов вычисляется для того, чтобы найти доверительные интервалы их значений с заданным уровнем значимости:

Проверка адекватности моделей производится с использованием критерия Фишера для оценки значимости расхождения дисперсии адекватности и воспроизводимости.

Ротатабельное планирование 2 порядка

Планы второго порядка позволяют находить оценки коэффициентов и их дисперсий в уравнении регрессии. Однако, величины оценок этих дисперсий уже не равны между собой как при линейном планировании, так как при ортогональном планировании второго порядка:

Оценка дисперсии предсказания откликов по уравнению регрессии зависит от дисперсии коэффициентов и оказывается различной на одинаковом расстоянии от центра плана во всех направлениях факторного пространства.

Построение планов второго порядка по критерию ротатабельности гарантирует инвариантность плана при вращении системы координат. Такое свойство облегчает поиск оптимума.

Для ротатабельных центральных композиционных планов второго порядка (РЦКП) в качестве ядра используют матрицу ПФЭ, при k < 5, матрицу ДФЭ реплики, при k > 5. К ядру добавляют звездные и нулевые точки. План будет ротатабельный, если матрица инвариантна к ортогональному вращению координат. Для плана второго порядка это условие выполняется, если равны нулю все нечетные моменты, вплоть до 4 порядка, т.е. 1 и 3, а для четных моментов (2,4) имеют место следующие соотношения:

- константы удовлетворяющие условию

Условие ротатабельности определяет величину звездного плеча для ядра в виде ПФЭ как , а для дробной реплики типа ДФЭ , как . Число параллельных опытов в центре плана определяет постоянство величины на различных расстояниях от центра. План, который обеспечивает постоянство предсказаний внутри сферы вокруг центра плана, называется униформным.

Для того, чтобы обеспечить невырожденность матрицы при РЦКП точки располагают на трёх сферах: в центре плана – сфера нулевого радиуса; сфера, описывающая куб с точками ПФЭ или ДФЭ; сфера, на которой находятся звездные точки.

Для обеспечения униформности дисперсий выбирают число опытов в центре плана таким, чтобы коэффициент был меньше единицы.

Например для: k = 3 , , ,

Данные, необходимые для построения центральных, композиционных ротатабельных, униформных планов для некоторого числа факторов, приведены в таблице:

Число факторов	Число опытов ядра	Число звездных точек	Число экспериментов в центре плана	Звёздное плечо	Общее число экспериментов	План ядра
2	4	4	5	1.414	13	ПФЭ
3	8	6	6	1.682	20	ПФЭ
4	16	8	7	2.000	31	ПФЭ

Матрицы ротатабельного планирования не ортогональны и поэтому коэффициенты квадратичной модели вычисляются по более сложным формулам. Дисперсия коэффициентов также вычисляется более сложным образом.