Элементарные способы планирования эксперимента

1. Определение необходимого объема N выборки с тем, чтобы при фиксированной доверительной вероятности достигнуть заданной точности оценивания параметров.

В качестве характеристики этой точности можно использовать относительную величину

,

где L – ширина доверительного интервала:

Предполагается, что искомая величина имеет нормальное распределение. U – стандартизированное нормальное распределение. Рассмотрим решение данной задачи для оценки .

Если оценивается математическое ожидание, то по (*) получим:

и, задаваясь предельно допустимой относительной погрешностью ε_доп, имеем

Пример.

Пусть требуется оценить с относительной погрешностью ε_доп = 0,5 при p = 0,99. Тогда U_p = 2,58 (по таблице стандартизированного нормального распределения).

Тогда N = 26,6256 = 27.

Т.е. необходимо произвести 27 опытов.

-------------------------- - -----------------------

2. Построение экстремальных поисковых экспериментов.

Главной задачей и конечной целью решения большого числа разнообразных исследовательских проблем управления, проектирования и планирования обычно является достижение и поддержание экстремальных, т.е. наилучших показателей. Процесс нахождения и поддержания наилучших (в определенном смысле) значений целевой функции объекта называется оптимизацией.

Критерий оптимизации (целевая функция) «y» обычно задается, иногда исследователь выбирает его сам.

Этот критерий должен удовлетворять следующим основным условиям:

1) нести в себе существенную информацию об объекте, о качестве процесса;

2) измеряться с достаточной точностью;

3) носить обобщенный характер, т.е. отражать качества и свойства процесса в целом – часто это интегральный показатель качества.

Если математическое ожидание критерия оптимизации «y» есть функция от вектора входных управляемых переменных (факторов), т.е.

(1)

где n – число факторов, то задача оптимизации сводится к отысканию таких значений факторов, (2)

при которых целевая функция достигает экстремума (max или min).

Будем исходить из задачи нахождения максимума.

Е сли на объект воздействую аддитивные помехи ε, то зависимость (1) выражает не функциональную, а регрессионную зависимость, которая в (n+1)-мерном пространстве «n» факторов x_i (i = 1,2,...n) и целевой функции «y» образует поверхность отклика.

ε

Объект

x₁

y_ист y_набл

x_n

Для решения задачи оптимизации, т.е. отыскания вектора (2), можно применить два принципиально различных подхода:

1. если известна или есть возможность найти n-факторную математическую модель для той части факторного пространства, где расположен экстремум функции отклика, то задачу решают аналитическим или численным методом;

2. если математическое описание не получено по каким-либо причинам, то осуществляют экспериментальный поиск области оптимума.

В первом случае используют известное свойство функций, имеющих экстремум – здесь первая производная функции обращается в нуль.

Т.е. имеется система из n уравнений:

(3)

Решением системы (3) и является вектор (2).

Но в практических случаях аналитическая зависимость (1) бывает неизвестна или нахождение ее представляет сложную задачу.

Тогда задачу решают вторым способом, т.е. экспериментальным поиском.

Сначала осуществляют изучение характера поверхности отклика в районе первоначально выбранной точки факторного пространства (с помощью «пробных» опытов).

Затем совершают «рабочее» движение в сторону экстремума, причем направление его определяют по результатам пробных опытов. Такое движение может осуществляться путем ряда этапов, которые могут объединяться в «циклы» (последовательная процедура).

После выхода в район экстремума оптимальную точку можно уточнить одним из двух способов: 1) постановкой дополнительных, особым образом спланированных опытов; 2) получением математической модели второго или более высокого порядка и последующим решением системы уравнений (3).

Мы рассмотрим 1-й способ. Задача надежного отыскания экстремума усложняется, если на объект воздействуют случайные помехи ε. Здесь каждое j-е измеренное (наблюдавшееся) значение целевой функции y_jнабл оказывается суммой истинного ее значения y_jист и случайные помехи ε_j:

y_jнабл = y_jист + ε_j (4).

Для повышения надежности результатов применяют специальные методы, например, проводят в каждой запланированной точке факторного пространства несколько параллельных опытов.

Может быть и такой случай, когда характеристики объекта смещаются во времени (дрейф). Это создает дополнительные трудности и приходится создавать специальные планы эксперимента.

Метод Гаусса – Зайделя

Он предусматривает поочередное нахождение частных экстремумов целевой функции по каждому фактору x_i (i = 1,2,...n). При этом на каждом i-м этапе стабилизируют n – 1 факторов и варьируют только один i-й фактор.

Графическая интерпретация метода дана на рисунке, где на плоскости 2-х факторов x₁ и x₂ изображена функция отклика «y» топографическим способом (замкнутые линии одного уровня отклика).

Эти линии на рисунке соответствуют некоторым относительным величинам, однако, как уже говорилось, форма функции отклика до начала эксперимента обычно неизвестна. Путь движения обозначим буквами М.

Задача решается в несколько этапов, объединенных в циклы. Рассмотрим эту процедуру с иллюстрацией двухфакторного примера.

I этап. 1. Выбирают основную (начальную, базовую) точку. Обычно она соответствует номинальному режиму ведения процесса . Иногда ее выбирают в центре области, которую исследуют. М₀.

2. Выбирают интервал (ступень) варьирования Δx₁ по фактору x₁. Этот параметр не должен быть слишком малым, иначе движение к экстремуму окажется замедленным. Кроме того, на интервале варьирования Δx_i (i = 1, 2, ...n) изменение целевой функции Δy должно быть существенно большим, чем погрешность ее измерения δy (не менее чем в 5 – 10 раз).

3. Определяют координаты пробных точек М₁ и М₂:

4. В этих точках ставят пробные опыты (для повышения точности результатов могут выполняться параллельные опыты). Измеряют отклики y(М₁) и y(М₂).

5. Сравнивают полученные отклики, и если y(М₂) > y(М₁), то совершают рабочее движение на один рабочий шаг Δx₁ по направлению в точку М₃.

6. Аналогичные шаги продолжают в том же направлении до тех пор, пока на каком-то k-том шаге, не окажется, что y(М_k) < y(М_k-1), т.е. значение отклика станет уменьшаться. Это – признак достижения частного экстремума в (k-1)-й точке.

II этап. Его проводят в том же порядке, что и I этап, с той лишь разницей, что стабилизируют все факторы, кроме x₂.

За новую базовую точку принимают точку с координатами:

,

а x₂ варьируют на величину Δx₂.

По достижении частного экстремума по фактору x₂ точку нового экстремума принимают за новую базовую точку.

Первый цикл продвижения к экстремуму заканчивается n-м этапом, на котором стабилизируют все факторы, кроме x_n.

Выбирают ступень варьирования Δx_n и совершают пробное и рабочее движение до достижения частного экстремума.

Если экстремум так и не достигнут, то выполняют второй цикл поиска.

Второй цикл, как и первый, начинается с 1 этапа, на котором варьируют фактор x₁ при стабилизации остальных x_i. Затем последовательно выполняют “n” этапов по каждому из “n” факторов.

Поисковое шаговое движение к экстремуму заканчивают по достижению такой точки факторного пространства, при движении из которой значения отклика оказываются меньшими.

Такую точку принимают за экстремум (максимум).

Достоинства метода Гаусса-Зайделя:

1. очевидная простота стратегии и наглядность;

2. высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.

Недостатки: 1) путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим;

2) в условиях крупного производства трудно застабилизировать n-1 фактор на длительное время;

3. если поверхность отклика имеет сложную форму (узкие гребни, овраги и т.п.), то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума;

4. метод не дает информации о взаимодействиях факторов.

Исторически – это первый из рассматриваемых оптимизационных методов. В настоящее время он применяется при машинном эксперименте.

Среди других методов следует выделить градиентные методы (обычный и Кифера-Вольфовица), метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона), симплексный метод, метод случайного поиска.