Лабораторная работа №3

Типовые звенья систем автоматического управления

Цель работы: изучение динамических свойств типовых звеньев систем автоматического управления и методов определения их параметров по экспериментально получаемым временным и частотным характеристикам на моделях.

Описание работы

Временные характеристики

Переходной функцией звена (системы) называется реакция звена (системы) на единичное ступенчатое воздействие.

Импульсной переходной функцией, или весовой функцией, звена (системы) называется реакция звена (системы) на воздействие типа δ-функции.

Располагая этими характеристиками, мы можем определить параметры соответствующих звеньев.

Рассмотрим распространённые динамические звенья систем автоматического управления – инерционное и колебательное.

Они описываются следующими дифференциальными уравнениями:

• инерционное звено:

; (3.1)

• колебательное звено:

, (3.2)

или

, (3.2)

где – собственная частота колебаний звена,

– постоянная затухания.

Из уравнений (3.1)-(3.3) следует, что инерционное звено определяется двумя параметрами, а колебательное звено – тремя.

Как известно, переходная функция для рассмотренных звеньев имеет вид:

• для инерционного звена:

; (3.4)

• для колебательного звена:

. (3.5)

Имея в виду, что весовая функция является производной от переходной функции, из уравнений (3.4)-(3.5) можно получить выражения для весовых функций:

• инерционного звена:

; (3.6)

• колебательного звена:

. (3.7)

Известно несколько методов определения параметров по вышеприведённым временным характеристикам.

Коэффициент усиления звена определяется установившимся значением , а также на основе экспериментально снятой характеристики .

Так, на рис. 3.1 представлен график для инерционного звена и поясняется, как определить его параметры.

Рис. 3.1– Зависимость для инерционного звена

Постоянную времени можно определить на графике по величине отрезка, отсекаемого на горизонтальной асимптоте экспоненты касательной, проведённой к ней в точке .

Заметим, что постоянную времени инерционного звена можно определить и с помощью касательной, проведённой к в любой точке.

Постоянная времени равна также отрезку времени, за который делается равной .

Указанные способы вытекают из свойств экспоненты и могут быть использованы, если имеется уверенность, что исследуемое звено действительно является инерционным звеном. Если такой уверенности нет, то строят зависимость , которая для инерционного звена имеет вид:

. (3.8)

График представляет собой прямую (рис. 3.2). Эта прямая отсекает отрезок на оси и отрезок на оси .

Рис. 3.2. – Зависимость для инерционного звена

Если зависимость не представляет собой прямую, то исследуемое звено не является инерционным.

В случае небольших отклонений этой зависимости от прямой следует через полученные точки провести прямую так, чтобы получить наиболее близкую аппроксимацию.

Параметры колебательного звена можно определить по его переходной характеристике.

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

. (3.9)

Переходная функция записывается в виде

, (3.10)

где ; и имеет вид, представленный на рис.3.3.

Рис.3.3 – Переходная функция колебательного звена

Параметры колебательного звена определяются из следующих формул:

; ; ;

; .

При экспериментальном определении переходных функций на вход можно подавать ступенчатое воздействие любой величины . В этом случае кривая подобна , но ординаты её в раз больше, чем ординаты .

Частотные характеристики

Частотные и динамические свойства звена (системы) могут быть полностью охарактеризованы его комплексным коэффициентом усиления .

Комплексный коэффициент усиления звена (системы) представляет собой отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов при гармоническом входном воздействии.

Для экспериментального определения комплексного коэффициента усиления на вход звена (системы) подают гармонический сигнал постоянной амплитуды.

С изменением частоты входного воздействия изменяется модуль и фаза комплексного коэффициента усиления:

. (3.11)

Распространёнными способами изображения частотных характеристик звеньев (систем) являются амплитудно-фазовые (годограф комплексного коэффициента усиления) и логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики.

В работе используются оба способа изображения частотных характеристик звеньев.

На рис. 3.6 показаны годографы комплексных коэффициентов усиления пяти звеньев: инерционного и колебательного (рис. 3.6, а), интегрирующего (рис. 3.6, б), упругого интегрирующего (рис. 3.6, в) и упругого дифференцирующего (рис. 3.6, г) и реально дифференцирующего (рис.3.6.д). По виду годографа можно определить тип звена и его параметры.

г)

д)

Рис.3.6. – Годографы комплексных коэффициентов усиления звеньев

Так, годограф 2 (рис. 3.6, а) характерен для колебательного звена.

Комплексный коэффициент усиления колебательного звена можно записать в виде

. (3.12)

Анализ выражения (3.12) показывает, как найти параметры звена , и по экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристике.

Величина (рис. 3.6, а) характеризует коэффициент усиления на частоте . При этом

. (3.13)

Для значения частоты :

, (3.14)

т.е. комплексный коэффициент усиления в этом случае является чисто мнимой величиной. Поэтому соответствует точке пересечения годографа 2 (рис. 3.6, а) с мнимой осью и величина отрезка характеризует степень затухания :

. (3.15)

Аналогично рассуждая, можно по годографам комплексных коэффициентов усиления остальных звеньев (рис. 3.6) определить их параметры.

Для определения типа динамического звена и его параметров наибольшее распространение получили асимптотические логарифмические частотные характеристики.

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, а по оси ординат – величины в децибелах, вычисленные на основе следующего выражения:

. (3.16)

При построении фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) масштаб по оси абсцисс остаётся логарифмическим, а по оси ординат откладываются значения фазы в градусах или радианах.

Асимптотическая ЛАЧХ простейших динамических звеньев представляет собой одну асимптоту или соединение нескольких асимптот с наклонами или 0дБ/дек., или ±20дБ/дек., или -40 дБ/дек., где дек. – сокращённое обозначение слова декада, которое означает десятикратное изменение частоты.

На рис. 3.7 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ ряда типовых звеньев: интегрирующего (а), инерционного (б), колебательного (в), упругого дифференцирующего (г), упругого интегрирующего (д) и реально дифференцирующего (е).

e)

Рис. 3.7 – Частотные характеристики типовых звеньев

Если ЛАЧХ звена аппроксимировать с помощью отрезков прямых с наклоном, равным (±20 дБ/дек.), где , то по полученной асимптотической ЛАЧХ легко

определить тип звена и его параметры. Так, ЛАЧХ на рис. 3.7, а соответствует интегрирующему звену.

Комплексный коэффициент усиления интегрирующего звена можно записать в виде

, или . (3.17)

Для определения единственного параметра интегрирующего звена (или ) необходимо определить ординату ЛАЧХ для значения частоты (рис. 3.7, а), т.е. в децибелах. Тогда

.

Параметр (или ) интегрирующего звена можно определить и по значению частоты в точке пересечения ЛАЧХ с осью частот, а именно

.

Аналогично, коэффициент усиления инерционного звена (рис. 3.7, б) определяется из условия

,

а его постоянная времени – из условия . Так же просто определяются параметры других звеньев по ЛАЧХ.