3.6. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Асимптоты

Def.	Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть 2с – расстояние между фокусами;

2а – постоянная величина (2a < 2c);

r₁ – первое расстояние (левый фокальный радиус);

r₂ – второе расстояние (правый фокальный радиус).

Очевидно, что c>0, a>0, r₁>0, r₂>0.

Тогда уравнение гиперболы (по определению):

, причем .

Получим уравнение гиперболы в д.п.с.к. X0Y.

Расположим ось 0Х так, чтобы фокусы F₁ и F₂ принадлежали ей, ось и начало координат 0 – являлось серединой отрезка [F₁;F₂].

Тогда координаты фокусов – F₁(-c;0), F₂(c;0).

Пусть т. M(x;y) –«текущая» точка гиперболы.

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF₁ MN:

.

Из прямоугольного ΔF₂ MN:

.

Учитывая, что , получим , или

.

.

Note 1

Дома или на п/з (следуя методу решения п. 3.5) после замены , вывести – каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Основные характеристики гиперболы

1. Эксцентриситет. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.

Note 2

Для гиперболы эксцентриситет , т.к. по определению .

2. Вершины: A₁(-a;0) – левая действительная вершина гиперболы;

A₂(a;0) – правая действительная вершина гиперболы;

B₁(0;-b) – нижняя «мнимая» вершина гиперболы;

B₂(0;b) – верхняя«мнимая» вершина гиперболы.

3. Длины осей: |A₁A₂| =2a – длина действительной оси;

|B₁B₂| =2b – длина «мнимой» оси.

4. Фокальные радиусы: – левые;

– правые.

5. Директрисы: – уравнение левой директрисы;

– уравнение правой директрисы.

6. Гипербола обладает осевой и центральной симметрией.

Note 3

Дома или на п/з доказать, что , , где d1 – расстояние от т. М до левой директрисы, d2 – расстояние от т. М до правой директрисы.

Note 4

Дома или на п/з доказать, что гипербола – кривая второго порядка.

7. Характеристический прямоугольник. Прямоугольник, проходящий через вершины гиперболы, со сторонами параллельными осям 0X и 0Y называют характеристическим.

   Note 5

   Построение гиперболы необходимо начинать с построения характеристического прямоугольника и асимптот (как правило, эти построения выполняют тонкими или пунктирными линиями).

8. Асимптоты. Прямые, проходящие через начало координат и вершины характеристического прямоугольника, называют асимптотами гиперболы.

9. Явное уравнение гиперболы. Выразив y из канонического уравнения гиперболы, получим явное уравнение .

Note 6

Дома или на п/з доказать, что расстояние между точкой асимптоты и текущей точкой гиперболы М(x;y) стремится к нулю при . Например,