Необходимое и достаточное условие локального экстремума
Т.1 |
(Необходимое условие локального экстремума) Пусть
функция y=f(x)
определена
и дифференцируема в некоторой
окрестности т.
и имеет в т. x0
локальный
экстремум,
тогда
|
Proof:
По теореме Ферма,
если в т.
функция y=f(x)
имеет локальный
экстремум,
то
,
ч.т.д.
Т.2 |
(Достаточное условие локального экстремума) Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда если в т. x0 и при переходе через т. x0 :
|
Proof:
Пусть в т. производная и пусть производная при переходе через т. x0 меняет знак с «+» на «- ».
По теореме Ферма функция y=f(x) в т. x0 имеет локальный экстремум. До т. x0 функция y=f(x) возрастает, а после т. x0 функция убывает.
Значит, в т. x0 функция имеет локальный максимум, ч.т.д.
Note |
Дома или на практическом занятии доказать вторую часть теоремы, т.е. если при переходе через т. x0 производная меняет знак с «- » на «+», то функция y=f(x) достигает локального минимума. |
Выпуклость и вогнутость графика функции
Def.1 |
График функции
y=f(x)
называется выпуклым
в окрестности т.
,
если он находится «целиком»
ниже касательной,
проведенной в т.
|
.
Таким образом,
если
в окрестности т.
,
то график функции y=f(x)
– выпуклый.
Причем:
– ордината касательной в т.
;
– ордината функции
в т.
.
Def.2 |
График функции y=f(x) называется вогнутым в окрестности т. , если он находится «целиком» выше касательной, проведенной в т. . |
Т.1 |
Пусть функция y=f(x) определена и дважды дифференцируема в окрестности т. . Тогда, если в т. x0 :
1.
2.
3.
|
,
то график функции выпуклый;
,
то график функции вогнутый;
,
то график функции имеет перегиб.
Proof:
Пусть в т.
.
Рассмотрим отрезок [x0; x].
Уравнение касательной
.
По теореме
Лагранжа
.
Вычтем из 2-го уравнения 1-е:
.
Применим для первого сомножителя правой части еще раз теорему Лагранжа
.
Учитывая знаки сомножителей в правой части:
– по условию (в
окрестности т. x0);
– по построению;
–
по построению.
Тогда
,
т.е.
– ч.т.д.
Т.е. график функции «целиком» лежит ниже касательной в окрестности т. , т.е. он выпуклый, ч.т.д.
Note |
Дома или на практическом занятии аналогично доказать п.2 и п.3 . |