Глава 8. Исследование функций с помощью производных 77

8.1. Признаки возрастания и убывания функции 77

8.2. Необходимое и достаточное условие локального экстремума 78

8.3. Выпуклость и вогнутость графика функции 79

8.4. Асимптоты 80

8.5. Общая схема исследования функции и построение ее графика 81

Предисловие

Учебное Пособие содержит лекции по «Высшей математике», читаемые автором на протяжении 25 лет для студентов инженерно-технических специальностей институтов и университетов.

Несмотря на большой выбор существующей учебной литературы, студенту трудно рекомендовать что-то конкретное, т.к. «воды» в каждом учебнике более чем достаточно.

Представленный материал – это запись (на доске) лекций, читаемых автором для студентов в режиме реального дефицита времени. Поэтому их отличает предельная сжатость, математическая строгость, простота, красота, наглядность и ясность изложения.

Лекции состоят из 4-х частей, соответствующих содержанию 4-х семестрового курса дисциплины «Высшая математика» для студентов инженерно-технических специальностей университетов.

Известно, что, чему и как учить – вопрос вечный. Сколько преподавателей – столько и мнений, причем, каждый преподаватель считает, что его методика – единственно правильная. Автор так не считает.

Лекции предназначены в первую очередь для студентов, однако, могут быть полезными и для преподавателей.

Условные обозначения и сокращения

– квантор всеобщности (заменяет слово «любой»)

– квантор существования (заменяет слово «существует», «найдется»);

– логическое «или»;

– знак принадлежности; так – точка x принадлежит множеству Х;

д.п.с.к. – декартова прямоугольная система координат;

п.с.к. – полярная система координат;

ф-я – функция;

Т – теорема (от англ. Theorem);

Def. – определение (от англ. Definition);

Proof – доказательство (англ.);

Note – замечание (англ.);

– равенство по определению;

п/з – практическое занятие;

sup {x_n} – точная верхняя грань множества {x_n} (от лат. supremum – наивысшее);

inf {x_n} – точная нижняя грань множества {x_n} (от лат. infimum – наинизшее);

б.м.в. – бесконечно малая величина;

б.б.в. – бесконечно большая величина;

~ – знак эквивалентности;

o(β_n) – «o-малое» от β_n (б.м.в. более высокого порядка);

О(β_n) – «o-большое» от β_n (б.м.в. одного порядка).

Глава 1. Элементы теории множеств. Системы координат

1.1. Основные понятия о множествах

Множеством называют совокупность элементов, обладающих общим признаком.

Множество – понятие первичное и через более простое не определяется.

Множество можно заменить словами – «совокупность», «класс», «объединение» и т.д.

Пусть А – произвольное множество. Если элемент а содержится (не содержится) во множестве А, то записывают .

Пусть В – другое множество.

Обозначим:

	– содержание А в В (включение А в В, …);
	– совпадение А и В (равенство А и В, …);
	– пересечение А и В (умножение А∙В, …);
	– объединение А и В (сумма А и В, …);
	– дополнение В до А (разность А и В, …);
	– декартово произведение А и В (прямое произведение А и В, т.е. множество пар (а; b), где , , …);
Ø	– пустое множество;
	– мощность множества А (если А – конечное множество, то – число его элементов, …).

Геометрически – множества можно изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна¹.

На этих диаграммах множества изображают точками кругов, прямоугольников, треугольников и т.д.

Например, для пересекающихся множеств А и В мы можем изобразить диаграмму Эйлера-Венна.