Деление отрезка в данном отношении

Пусть прямая L принадлежит плоскости с д.п.с.к. X0Y. Пусть три точки M₁(x₁;y₁), M₂(x₂;y₂), M(x;y) принадлежат прямой L. Пусть отношения длин отрезков

.

Тогда по теореме Фалеса¹ :

.

Откуда .

Аналогично .

Note 2

Дома или на п/з получить (при λ=1) формулы для вычисления координат середины отрезка M1M2 .

.

3.4. Кривые второго порядка. Окружность

Def.	Кривой второго порядка (коническим сечением) называют геометрическое место точек M(x;y) координатной плоскости X0Y, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

Окружность

Def.	Окружностью называют геометрическое место точек M(x;y) координатной плоскости X0Y, равноудаленных от т. С(a;b) – называемой ее центром.

Пусть R – расстояние от т. M(x;y) до т. С(a;b).

Из прямоугольного ΔСMN по теореме Пифагора²

CN² + NM² = CM²,

или

.

Это и есть каноническое (простейшее) уравнение окружности.

Note 1

Дома или на п/з получить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Note 2

Дома или на п/з показать, что уравнение окружности – алгебраическое уравнение второй степени.

5. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Основные характеристики

Def.	Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бόльшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть 2с – расстояние между фокусами;

2а – постоянная величина (2a > 2c);

r₁ – первое расстояние (левый фокальный радиус);

r₂ – второе расстояние (правый фокальный радиус).

Очевидно, что c>0, a>0, r₁>0, r₂>0.

Тогда уравнение эллипса (по определению):

, причем .

Получим уравнение эллипса в д.п.с.к. X0Y.

Расположим ось 0Х так, чтобы фокусы F₁ и F₂ принадлежали ей, ось и начало координат 0 – являлось серединой отрезка [F₁;F₂].

Тогда координаты фокусов – F₁(-c;0), F₂(c;0).

Пусть т. M(x;y) –«текущая» точка эллипса.

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF₁ MN:

.

Из прямоугольного ΔF₂ MN:

.

Учитывая, что , получим

или

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обозначим , т.к. a > c, тогда

.

Или – каноническое (простейшее) уравнение эллипса.

Основные характеристики эллипса

1. Эксцентриситет. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

Note 1

Для эллипса эксцентриситет , т.к. по определению .

2. Вершины: A₁(-a;0) – левая вершина эллипса;

A₂(a;0) – правая вершина эллипса;

B₁(0;-b) – нижняя вершина эллипса;

B₂(0;b) – верхняя вершина эллипса.

3. Длины осей: |A₁A₂| =2a – длина большой оси;

|B₁B₂| =2b – длина малой оси.

4. Фокальные радиусы: – левый;

– правый.

5. Директрисы: – уравнение левой директрисы;

– уравнение правой директрисы.

6. Эллипс обладает осевой и центральной симметрией.

Note 2

Дома или на п/з доказать, что , ; где d1 – расстояние от т. М до левой директрисы, d2 – расстояние от т. М до правой директрисы.

Note 3

Дома или на п/з доказать, что эллипс – кривая второго порядка.