2. Разложение вектора в декартовом базисе

Пусть на плоскости задана д.п.с.к. X0Y.

Пусть единичный вектор принадлежит оси 0X.

Пусть единичный вектор принадлежит оси 0Y.

Очевидно, что эти векторы взаимно перпендикулярны.

Пусть Пр_ox = a_x , Пр_oy =a_y .

По правилу сложения двух векторов

или .

Т.о., последнее равенство называется разложением вектора в декартовом базисе пространства L₂.

Note 1

Дома или на п/з доказать, что .

Пусть в трехмерном пространстве задана д.п.с.к. XYZ. Пусть единичный вектор принадлежит оси 0X, вектор – оси 0Y и единичный вектор принадлежит оси 0Z.

Пусть вектор образует углы с осями координат 0X, 0Y, 0Z.

Пусть Пр_ox = a_x , Пр_oy =a_y , Пр_oz =a_z .

По правилу сложения трех векторов

или

.

Т.о., последнее равенство называется разложением вектора в декартовом базисе пространства L₃.

Note 2

Дома или на п/з доказать, что .

Пусть a_x | |cosα, a_y | |cosβ , a_z | |cosγ.

Note 3

Дома или на п/з доказать, что .

Пусть заданы два вектора:

и .

Note 4

Дома или на п/з доказать, что .

5. Скалярное произведение векторов. Свойства

Def.	Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, т.е.

.

Скалярное произведение обозначают или или или и т.д. Мы будем использовать первое обозначение, т.е. .

Note 1

Дома или на п/з доказать, что .

Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность: .

2. Ассоциативность: , где λ – число.

3. Дистрибутивность: .

4. или или .

5. – скалярный квадрат.

6. Если , , то

; ;

.

Note 2

Дома или на п/з доказать свойства 1 – 6.

Из определения скалярного произведения

следует, что

,

или

.

Note 3

Дома или на п/з доказать неравенство Коши-Буняковского1

.

5. Векторное произведение векторов

Def.	Векторным произведением двух векторов и называют третий вектор , обладающий следующими свойствами: , ; ; векторы , , образуют правую тройку, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору «виден» из конца вектора против часовой стрелки.

Векторное произведение двух векторов обозначают , , и т.д. Мы будем употреблять первый тип обозначения, т.е. .

Таким образом,