Глава 2. Элементы векторной алгебры

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами

В математике различают два типа величин: скалярные и векторные.

Скалярные величины определяются только числом (масса, температура, энергия, объем и т.д.).

Векторные величины определяются числом и направлением (скорость, ускорение, сила и т.д.).

Существуют векторы свободные, скользящие и закрепленные. В математике изучают свободные векторы. Вектор изображают направленным отрезком и обозначают, например, , где A – начало, В – конец вектора; или одной малой буквой латинского алфавита: , и т. д.

Линейные операции над векторами

1. Сложение

Суммой двух векторов и называется замыкающий вектор , соединяющий начало первого вектора и конец последнего (правило треугольника, параллелограмма, многоугольника).

2. Разность

Разностью двух векторов и называется вектор , соединяющий конец вектора и конец вектора , т.е.

3. Модуль

Модулем (длиной, нормой, …) вектора называют длину отрезка и обозначают .

4. Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , длина которого умножена на , причем, он сонаправлен с вектором , если и направлен в противоположную сторону, если .

5. Коллинеарность

Векторы и называются коллинеарными, если или они принадлежат одной прямой.

6. Компланарность

Векторы и называются компланарными, если они принадлежат одной плоскости.

Свойства векторов

1. Коммутативность: .

2. Ассоциативность: .

3. Дистрибутивность: где числа (const)

2. Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось 0X называют число, равное длине отрезка между проекцией начала и конца вектора . Это число берется со знаком «+», если угол между осью 0X и вектором острый, и со знаком «-», если угол – тупой.

Проекцию вектора на ось 0X будем обозначать Пр_ox = a_x; на ось 0Y: Пр_oy =a_y; на ось 0Z: Пр_oz = a_z.

Очевидно, что Пр_ox = | |cosα, Пр_oy =| |cosβ, Пр_oz =| |cosγ. Откуда: , , .

Эти косинусы называют направляющими косинусами.

2. Линейная независимость векторов. Базис. Размерность линейного пространства

Def.1

Векторы , , …, называют линейно независимыми, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа равны нулю, т.е. …, . В противном случае они называются линейно зависимыми.

Пусть, например, тогда вектор можно представить в виде линейно комбинации остальных векторов, т.е.

.

Def.2

Размерностью линейного пространства L называют максимальное число линейно независимых векторов данного пространства и обозначают .

Def.3

Базисом данного пространства L называют совокупность линейно независимых векторов пространства L, число которых равно размерности пространства L.