4. Асимптоты

1. Вертикальная асимптота

Def.1

Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в т. x0 обращается в бесконечность (т.е. в т. x0 – разрыв 2-го рода). При этом расстояние между точками графика функции и точками данной прямой стремится к нулю, если (или ).

2. Наклонные асимптоты

Def.2

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой (если k=0 – горизонтальной) графика функции y=f(x) при (или ), если расстояние между точками графика функции y=f(x) и прямой y=kx+b стремится к нулю, т.е. , где – б.м.в. при (или ).

Получим формулы для вычисления постоянных k и b.

1. k = ?

, т.о. .

2. b = ? ,

т.о. .

Note	Дома или на практическом занятии доказать формулы для вычисления k и b при .

5. Общая схема исследования функции и построение ее графика

Пусть задана функция y=f(x) в д.п.с.к. X0Y.

Общая схема

1. D [f(x)] – область определения функции (О.О.Ф.)

2. E [f(x)] – область значений функции (О.З.Ф.)

3. Нули функции, чётность, нечётность, периодичность.

4. – точки локального экстремума.

5. с – вогнутость, выпуклость и точки перегиба.

6. Вертикальные и наклонные асимптоты.

7. Заполнение таблицы.

Note 1

В первую строку таблицы заполняется О.О.Ф., которая делится на промежутки точками разрыва 1-го и 2-го рода и другими характерными точками.

Note 2

Заполнение таблицы начинают с производной .

Note 3

Для «простых» функций таблицу можно не формировать.

Note 4

Построение графика функции начинают с асимптот, которые наносятся пунктиром.

Ex. 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. . В т. x=1 функция имеет разрыв 2-го рода (x=1 – вертикальная асимптота).

2. (значение функции не ограничено, однако точное значение функции можно получить, выразив x=x(y), т.е. , т.е. более точное значение .

3. Нули функции. . Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической. Т.е. функция общего вида.

4. .

Т.о. при всех x, кроме т. x=1.

5. .

6. Асимптоты.

Вертикальная x=1.

Наклонная y=kx+b.

Т.о., k=0, b= -1.

Наклонная асимптота имеет уравнение y= -1.

7. Таблица.

x		1
f(x)
	+		+
	+		-
Выводы	Возрастает вогнуто	Разрыв 2-го рода	Возрастает выпукло

График функции .

1 Leonard Euler (1707-1783) – швейц. математик, механик, физик, астроном. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Член Петерб. АН (с 1766 г.).

D. Venn (1834-1923) – англ. математик, логик. Труды по логике классов, теории вероятностей и индуктивной логике

1 René Descartes (1596-1650) – франц. философ, математик, физик, физиолог. Труды по аналитической геометрии, теории функций, теории движения небесных тел, теории связи «души» человека с материей. Автор законов сохранения количества движения и импульса силы, …

1 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – франц. математик, почетный член Пет. АН (1831). Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел, геометрии. Основоположник теории аналитических функций.

Виктор Буняковский (1804-1889) – русс. математик, академик Пет. АН (1830). Труды по интегральному исчислению, теории вероятностей, теории чисел, статистике населения.

1 Фалес – ок. 625 г. до н.Э., др. греч. мыслитель, родоначальник антич. философии и науки, основатель милетской школы. Возводил все многообразие явлений и вещей к единой первостихии – воде.]

2Пифагор Самосский (6 в. до н.э.) – др. греч. философ, математик. Труды по теории целых чисел, пропорций,….

1 Isaak Newton (1643-1727) – англ. математик, механик, астроном и физик. Фунд. труд «Математические начала натуральной философии» (1687).

2 Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716) – нем. философ-идеалист, математик, физик, языковед. Основатель Бранденбургского науч. общества. По просьбе Петра 1 разработал проекты развития образования и государственного управления России.

1 Heine (1821-1881) – нем. математик

2 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – франц. математик, основоположник теории аналитических функций. Тр. по теории дифференциальных уравнения, математической физике, теории чисел, геометрии. Автор классических курсов математического анализа.

1 [Bernhard Bolzano (1781-1848) – нем. математик и философ-идеалист. Истинам логики приписывал идеальное объективное существование. Тр. по математическому анализу, бесконечным множествам. Предшественник Г. Кантора].

1 Karl Th. W. Weierstrass (1815-1897) – нем. математик. Тр. по математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре.

2 Georg Cantor (1845-1918) – нем. математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей большое влияние на развитие всей математики.

1 Pierre de Fermat (1601-1665) – гениальный франц. математик. Труды по аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей, оптике, …

1 Michele Rolle (1652-1715) – франц. математик. Труды по алгебраически уравнениям, …

2 Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) - франц. математик, механик, физик,… Труды по вариационному исчислению, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям, …

1 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - франц. математик, почетный член пет. АН (1831). Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел, геометрии. Основоположник теории аналитических функций.

1 Guillaumede L’Hospital (1661-1704) – франц. математик. Первый печатный учебник по дифференциальному исчислению (1696).

1 Brook Tailor (1685-1731) – англ. математик. Труды по степенным рядам.

2 Colin Maclorin (1698-1746) – шотл. математик. Труды по математическому анализу, теории кривых, механике.

1 D. Peano (1858-1932) – итал. математик. Труды по математическому анализу, теории чисел.

7