Многочлен Тейлора1 и Маклорена2. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа
Т. |
Пусть функция
y=f(x)
определена и (n+1)
раз
дифференцируема
в некоторой окрестности т.
.
Тогда справедлива формула Тейлора:
|
.
Или более кратко
– формула
Тейлора.Proof:
Пусть
.
Пусть
– многочлен
n-й
степени,
– неизвестные
константы.
Тогда
.
Пусть выполняется (n+1)-е условие:
,
,
,
………………..
.
Напомним, что
.
Пусть х=х0, тогда
или
.
Вычислим производную от многочлена Pn(x).
.
Пусть х=х0, тогда
или
.
Вычислим производную 2-го порядка от Pn(x).
.
Пусть х=х0, тогда
.
Продолжая этот процесс, вычисляя производные 3-го, 4-го, 5-го, …, n-го порядка, и, подставляя вместо , получим
,
,
…,
.
Подставляя эти значения констант в формулу для многочлена Pn(x), получим
.
Докажем, что
или
,
т.е.
.
Note 1 |
Дома или на практическом занятии (применяя n раз правило Лопиталя) доказать, что
|
Note 2 |
Т.о. мы получили формулу Тейлора
с
остаточным членом
|
в форме
Пеано1.
Note 3 |
Дома или на практическом занятии (применяя n+1 раз теорему Коши) доказать, что
где
|
Т.о.,
– формула Тейлора
с остаточным членом
– в форме
Лагранжа.
Note 4 |
Если в формуле Тейлора положить x0 = 0 !!!, то получим формулу Маклорена
Или более кратко
|
– формула
Маклорена.
Note 5 |
Дома или на практическом занятии получить формулы Маклорена для элементарных функций
1.
2.
3.
4.
5.
|
Глава 8. Исследование функций с помощью производных
Признаки возрастания и убывания функции
Пусть функция
y=f(x)
определена и дифференцируема в некоторой
области т.
Т.1 |
(Прямая)
Если
функция y=f(x)
возрастает
(в строгом смысле)
на множестве X,
то
|
Proof:
Пусть
,
тогда
.
По условию теоремы
,
т.к. функция возрастает;
по предположению, значит
,
ч.т.д.
Note 1 |
Дома или на
практическом занятии доказать, что
если функция y=f(x)
убывает (в
строгом смысле)
на множестве Х,
то
|
.
Т.2 |
(Обратная)
Если на
множестве X
|
,
то функция y=f(x)
возрастает
(в строгом смысле).
Proof:
Пусть
,
тогда по теореме Лагранжа
,
где
.
Так как правая часть строго больше нуля,
то и левая часть больше нуля, т.е.
,
ч.т.д.
Note 2 |
Дома или на
практическом занятии доказать, что
если на множестве X
|
,
то функция y=f(x)
убывает (в
строгом смысле).