Теорема Ролля1
Т. |
(Теорема Ролля)
Пусть функция y=f(x)
определена
и непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b).
Тогда, если на концах отрезка функция
принимает равные значения f(a)=f(b),
то
|
.
Proof:
По второй теореме Вейерштрасса – функция, непрерывная на отрезке, достигает своего максимального М и минимального m значения.
Возможны два варианта:
Пусть М=m на [a;b] функция
.
Тогда в т. , ч.т.д.
Пусть
,
тогда по теореме Ферма (п.7.1.)
,
ч.т.д.
Теорема Лагранжа2. Геометрический смысл
Т. |
(Теорема
Лагранжа)
Пусть функция y=f(x)
определена
и непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b).
Тогда,
|
.
Proof:
Чтобы воспользоваться теоремой Роля (п.7.2.) введем вспомогательную функцию
.
Очевидно, что
и
,
тогда по теореме Роля
.
Но, производная
.
В т.
производная
(по теореме Ролля).
Или , ч.т.д.
Геометрический смысл
Очевидно, что
– тангенс
угла «наклона» хорды,
соединяющей точки
и
к
оси ОХ.
– угловой
коэффициент касательной
к графику функции в т.
.
Note |
Таким образом, тангенс угла «наклона» хорды равен угловому коэффициенту касательной в т. . |
Формула конечных приращений
Если т. a=x, b=x+Δx отрезок [x; x+Δx], то по теореме Лагранжа
,
где
.
Или, учитывая, что
,
,
получим
– формула
конечных приращений.
Note |
Ф |
ормула
конечных приращений часто
применяется в математике
при различных доказательствах.
Однако следует помнить, что где
именно
расположена точка с, теорема Лагранжа
(к сожалению!)
не дает
ответа.
Единственно, что следует из теоремы,
это т.
.
Теорема Коши1
Т. |
(Теорема Коши)
Пусть две функции f(x)
и g(x)
определены
и непрерывны на отрезке [a;b]
и дифференцируемы на интервале (a;b)
и производная
|
на (a;b).
Тогда,
.
Proof:
Чтобы воспользоваться теоремой Роля (см. п. 7.2) введем вспомогательную функцию
.
Очевидно, что
,
.
Тогда по теореме Роля
.
Производная
.
В т.
,
т.е.
.
Откуда
,
ч.т.д.
Правило Лопиталя1. Раскрытие неопределенностей
Т. |
(Теорема
Лопиталя)
Пусть две функции f(x)
и g(x)
определены
и непрерывны на отрезке [x0;
x]
и дифференцируемы на интервале (x0;
x),
причем
.
Пусть
|
и
.
Тогда, если существует
то
,
причем
.Proof:
По теореме Коши
,
где
.
По условию теоремы
и
,
т.е.
.
Тогда при
(по теореме
о сжатой переменной)
.
Или
.
Пусть
,
тогда при
,
т.о. символ «с» можно заменить на символ
«x»,
т.е. если
.
Note 1 |
Если рассмотреть
отрезок [x;
x0]
и провести
аналогичное доказательство, то все
рассуждения справедливы
при
Поэтому в дальнейшем будем писать . |
.
Note 2 |
Пусть в т.
|
и
,
тогда справедливы все выводы теоремы
Лопиталя.
Note 3 |
Т.о., если
|
или
,
то справедливо «Правило
Лопиталя».
– Правило Лопиталя,
причем, следует иметь ввиду, что его необходимо читать «справа-налево», т.е. если существует предел отношения производных, то существует предел отношения функций и эти пределы совпадают.
Ex.1.
Ex.2.
Ex.3.
Пусть
,
тогда
Т.о.,
,
откуда
.