3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. приращение функции и дифференциал dy – эквивалентные б.м.в. (при ), т.е.

~ ,

то в приближенных методах вычислений пишут

≈ ,

с точностью до б.м.в. более высокого порядка малости.

Учитывая, что дифференциал функции по определению

,

получим

.

Или

,

откуда

.

Ex.1. Применяя дифференциал вычислить приближенно значение функции

y=sinx в т. x=1⁰, т.е. sin 1⁰.

Решение:

Пусть x₀=0⁰, x=1⁰, тогда Δx=1⁰ – 0⁰ = 1⁰.

тогда .

Т.к. производная , то

Или

В радианах 1⁰ .

Т.о. .

Заметим, что точное значение

.

Т.о., абсолютная погрешность не превышает одной десятитысячной.

3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=y(x) определена и дифференцируема в т. . Тогда называют производной 1-го порядка. Т.к. производная 1-го порядка также является функцией, то ее можно дифференцировать.

Def.	Производной 2-го порядка называют производную от производной 1-го порядка, т.е. – производная 2-го порядка (по Лагранжу) или – производная 2-го порядка (по Лейбницу).

Символ можно рассматривать как единый символ, который читается как «дэ два игрек по дэ икс дважды».

Однако, учитывая, что , то .

Т.о., мы получили формулу для вычисления дифференциала 2-го порядка, т.е. – дифференциал 2-го порядка.

Аналогично вычисляются дифференциалы 3-го порядка , 4-го порядка , и т.д.

Ex.1. Вычислить дифференциал 3-го порядка для функции y=sinx.

Решение.

Т.о.,

.

3. Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически

1. Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция y=y(x) задана неявно, т.е. F(x;y)=0 или F(x;y(x))=0.

Если функция F(x;y) – непрерывно дифференцируема в некоторой области D координатной плоскости X0Y, причем, частная производная функции двух переменных , то можно доказать, что

.

Эта формула будет доказана далее в разделе «Функции нескольких переменных». Следует заметить, что переменные в функции F(x;y) считаются независимыми.

Однако не обязательно разрешать уравнение F(x;y)=0 относительно y. Достаточно продифференцировать это уравнение, считая y не переменной, а функцией аргумента x.

Ex. 1. Вычислить производную , если уравнение задано неявно .

Решение.

Продифференцируем это уравнение по переменной x, считая y=y(x), тогда получим

.

Откуда или, учитывая (из заданного уравнения), что , получим .

.

2. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция y=y(x) задана параметрически, т.е.

где параметр

По правилу дифференцирования сложной и обратной функции

.

Т.о.,

.

Ex. 2. Найти производную , если функция задана параметрически

Решение.

, т.о.,

Глава 7. Теоремы о среднем

1. Теорема Ферма1

Т.	(Теорема Ферма) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, если в т. функция достигает локального экстремума, то .

Note 1

Локальным экстремумом называют локальный («местный») максимум или минимум.

Proof:

Пусть в т. функция y=f(x) достигает локального максимума.

По определению производной .

Note 2

Приращение аргумента может быть любым, т.е. или .

1. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», а знаменатель знак «+».

2. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», и знаменатель знак «-».

Note 3

f '(c) – значение производной в т. с. Это значение не может быть одновременно меньше или больше нуля. Т.о. f '(c) =0, ч. т. д.