Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
6.1. Определение. Правила и формулы дифференцирования
Пусть на плоскости с д.п.с.к. X0Y определена функция y=f(x) в некоторой т. .
Def.1 |
(Наизусть!) Производной функции y=f(x) в т. x называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е.
где
|
,
приращение
аргумента;
приращение
функции.
Note |
Приращение
аргумента
|
может быть как больше
нуля, так
и меньше
нуля.
Def.2 |
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в т. х, если в этой точке существует конечная производная. |
Обозначение производной
y' или f '(x) – по Лагранжу;
или
– по Лейбницу;
Dy или Df(x) – по Коши;
или
– по Ньютону.
В данном курсе мы будем применять первые два типа обозначений (т.е. по Лагранжу или по Лейбницу), обозначение по Ньютону применяют в курсе «Теоретическая механика».
Основные правила и формулы дифференцирования
Правила
Пусть функции y=f(x), u=u(x), v=v(x) – определены и дифференцируемы в т. .
Пусть с – произвольная постоянная (с – const).
Пусть y=y[u(x)] – сложная функция от основного аргумента x (u(x) – называют промежуточным аргументом).
Тогда:
производная
константы;
производная суммы
функций;
производная
разности
функций;
производная
произведения
функций;
производная
частного
функций;
производная
обратной
функции;
где с
– const;
производная
сложной
функции.
При выводе данных правил полагаем, что
приращение
функции u;
приращение
функции v.
Формулы
Таблица производных элементарных функций
Т. |
(Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции) Если функция y=f(x) дифференцируема в т. x, то она непрерывна в т. х (обратное не всегда верно!). |
Proof:
1-й метод.
Пусть
,
тогда по лемме переменная
отличается
от предела
на б.м.в. α,
т.е.
.
Откуда
.
Пусть
,
ч.т.д.
2-й метод. Пусть .
Тогда
,
ч.т.д.
Мы воспользовались одним из определений непрерывности функции y=f(x)
.
Правила
Proof:
,
т.е. производная константы
равна нулю.
P
roof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная суммы
функций.
Proof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная разности
функций.
Proof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная произведения
функций.
Proof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная частного
функций.
Proof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная обратной
функции.
Proof:
,
ч.т.д.
,
где с –
const.
Proof:
,
ч.т.д.
,
т.е. производная сложной
функции.
Proof:
,
ч.т.д.
Формулы
Proof:
Note |
Приведем вывод некоторых формул, при этом нарушив их порядок. Остальные формулы вывести дома или на п/з. |
.
,
ч.т.д.
.
,
ч.т.д.
.
Пусть ex
=y,
тогда x=lny
или
,
(т.к. y
– сложная функция переменной х).
Или
,
т.е.
,
ч.т.д.
.
Пусть
,
тогда
,
или
(т.к. y
– сложная функция переменной х).
Или
,
т.е.
,
ч.т.д.
.
Пусть
,
тогда
или
(т.к. y
– сложная функция переменной x).
Или
,
т.е.
,
,
ч.т.д.
.
,
ч.т.д.
.
,
ч.т.д.
.
Пусть
,
тогда
,
или, учитывая, что
,
т.е.
,
т.е.
,
ч.т.д.
Note |
Т.к.
|
монотонно возрастает на
,
то в последней формуле перед радикалом
выбираем знак «+».