2. Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы

Def.	Вторым замечательным пределом называют , где e ≈ 2,718281828459045…– иррациональное число.

Рассмотрим числовую последовательность .

Очевидно, что

;

;

……………………………

Т.к. , то последовательность монотонно возрастает. Можно доказать, что она ограничена сверху, например, числом 3. Тогда по теореме о монотонно возрастающей последовательности, ограниченной сверху, эта последовательность имеет конечный предел, т.е.

.

Натуральные логарифмы

Def.	Логарифм с основанием e называют натуральным, т.е. .

Т.к. , то или .

Обозначая , получим

или

,

где M≈0,434294… – модуль перехода.

9. Неопределенности и их раскрытие

Различают несколько видов неопределенностей:

, , , , , и др.

1. . Пусть f(x₀)=0 и g(x₀)=0, тогда говорят, что неопределенность вида ноль на ноль.

1. Если числитель и знаменатель имеют одинаковые сомножители, то их можно сократить, устранив неопределенность.

Ex.1.

2. Если содержатся тригонометрические функции, то обычно применяют 1-й замечательный предел.

Ex.2.

3. Если содержатся радикалы, то числитель и знаменатель умножают на «сопряженный» множитель, учитывая, что и др.

Ex.3.

2. . Неопределенность раскрывается делением числителя и знаменателя на алгебраическое слагаемое в максимальной степени.

3. . Неопределенность раскрывается применением 2-го замечательного предела.

4. . Неопределенность раскрывается приведением функций к общему знаменателю, т.е. виду или .

5. . Неопределенность приводится к виду или .

Ex. 4.

6. . Неопределенность раскрывается предварительным логарифмированием.

9. Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции. Равномерная непрерывность

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности т. x₀ множества X (и в самой точке x₀ !!!).

Def. 1

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. , если

Def. 2

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. , если .

Def. 3

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. , если , где приращение аргумента; приращение функции; т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Def. 4

(Применяется при исследовании функции на непрерывность) Функция y=f(x) называется непрерывной в т. , если она определена в т. x0 и ее окрестности; и ; k1 = k2 = f(x0).