Предел функции действительного аргумента
Пусть на плоскости с д.п.с.к. X0Y задана функция y=f(x).
Def. 1 |
Число
А
называют пределом
функции
y=f(x)
в т. x0
|
и записывают
,
если при любом способе стремления
.
Def. 2 |
(По Гейне1 – на языках последовательностей) Число
А
называют пределом
функции
y=f(x)
в т. x0
и записывают
,
если из сходимости последовательности
аргумента |
к
т. x0
следует
сходимость значений
функции
к числу А.
Def. 3 |
(По Коши2 – на языке “ε – δ ”) Число А называют пределом функции y=f(x) в т. x0 и записывают , если
|
.
Def.4 |
(на языке окрестностей) Число А называют пределом функции y=f(x) в т. x0 и записывают
,
если
где
|
,
”выколотая”
окрестность
т. x0;
”
невыколотая”
окрестность
т. А.
Def. 5 |
(Левосторонний предел) Число А называют левосторонним пределом функции y=f(x) в т. x0 и записывают
|
,
если при
.
Def. 6 |
(Правосторонний предел) Число А называют правосторонним пределом функции y=f(x) в т. x0 и записывают
|
,
если при
.
Note |
Для функций действительного переменного справедливы все теоремы о пределах функции натурального аргумента (см. п. 5.5) |
Пусть
,
,
с
– const,
то
Т.1. |
|
.
Т.2. |
|
.
Т.3. |
|
.
Т.4. |
|
.
Т.5. |
|
.
Первый замечательный предел
Def. |
Первым замечательным пределом называют
|
.Proоf:
Рассмотрим окружность радиуса R.
Пусть x – центральный угол (рад.)
Пусть
площадь треугольника
OAB.
Пусть
площадь
сектора
OAB.
Пусть
площадь прямоугольного
треугольника
OCB.
Очевидно, что
.
.
Т.к.
,
то
или (сокращая на
),
получим
.
Пусть
,
тогда
или
.
По теореме о сжатой переменной (правилу 2-х милиционеров)
, ч.т.д.
Note |
В силу четности
функции cos
x
и
|
первый
замечательный предел справедлив
и для x<0.