2. Бесконечно малые величины. Классификация

Def.	Переменную величину называют бесконечно малой величиной (б.м.в.), если ее предел равен нулю.

Обозначение: б.м.в. принято обозначать малыми греческими буквами начала алфавита, т.е.

Таким образом, б.м.в.

или

б.м.в. .

Свойства бесконечно малых величин

Пусть и – б.м.в., с – const.

Тогда:

1. – б.м.в.,

2. – б.м.в.,

3. – б.м.в.,

4. – б.м.в.

Докажем, например, п.1.

б.м.в. , (1)

б.м.в. . (2)

Выберем в качестве , тогда неравенства (1) и (2) выполняются, т.е. при

, т.е.

, ч.т.д.

Note	Дома или на п/з аналогично доказать свойства 2-4.

Классификация бесконечно малых

В математике важно знать «как быстро» переменная стремится к нулю.

Например, пусть .

Тогда ;

.

Из самих значений переменных и рисунка видно, что вторая переменная «быстрее» стремится к нулю, чем первая.

Эквивалентные б. м. в.

Def. 1

Б.м.в. и называют эквивалентными, если .

Обозначение: .

E x.1. Пусть , тогда или , т.к.

Б. м. в. одного порядка малости

Def. 2

Б.м.в. и называют одного порядка малости, если .

Обозначение: или .

Читается: есть «О-большое» от .

Ex.2. Пусть , тогда или ;

т.к.

Б.м.в. более высокого порядка малости

Def. 3

называют б.м.в. более высокого порядка малости, чем б.м.в. , если .

Обозначение: .

Читается: есть «о-малое» от .

Ex.3. Пусть , тогда или т.к.

2. Бесконечно большие величины. Связь их с бесконечно малыми

Def.	Переменную называют бесконечно большой величиной (б.б.в.), если для любого, сколь угодно большого числа M>0, найдется такой номер , что при всех .

В кванторах это определение может быть записано так

.

Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими величинами

Т.	Пусть – б.м.в., тогда – б.б.в.

Proоf.

По условию теоремы – б.м.в., т.е.

.

Запись эквивалента записи . Обозначая , мы получим

ч.т.д.

2. Теорема о пределах

Лемма

Если переменная имеет конечный предел, то она отличается от предела на б.м.в.

Proоf:

.

Обозначим , где – б.м.в.

Действительно, мы получили, что

, ч.т.д.

Пусть , , с – const, тогда

Т.1.

.

Т.2.

.

Т.3.

.

Т.4.

.

Т.5.

.

Докажем, например, Т.1.

Пусть , где – б.м.в.

, где – б.м.в.

Тогда

,

ч.т.д.

Note	Дома или на п/з доказать (аналогично) Т.2. – Т.5..