Глава 5. Введение в математический анализ

Def.	Математический анализ – раздел математики, в котором изучают функции (с помощью дифференциального и интегрального исчисления).

Родоначальниками математического анализа с полным правом можно считать двух гениальных исследователей: Isaak Newton¹ и Gottfried Willhelm Leibniz².

1. Функция натурального аргумента

Def.	Пусть каждому натуральному числу по какому-то закону поставлено в соответствие число , то говорят, что задана функция натурального аргумента (переменная величина, числовая последовательность, …).

Обозначение: , , , , …

n:	1,	2,	3,	4,	…,	n,	…
	↓	↓	↓	↓		↓
:	,	,	,	,	…,	,	…

Мы будем применять первое обозначение, т.е. .

.

Ex. 1.	Пусть задан закон (задана числовая последовательность) тогда – первый член последовательности; – второй член последовательности; – третий член последовательности; … – n-й член последовательности (общий член последовательности). …

Изображение. Члены последовательности изображают точками на плоскости (1-й способ) или точками на числовой прямой (2-й способ).

П усть задана числовая последовательность .

1-й способ

2-й способ

Мы будем применять 2-й способ изображения.

2. Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах

Def.	(Наизусть!) Число а называют пределом числовой последовательности при и записывают , если для любого, сколь угодно маленького, положительного числа ε > 0, найдется такой номер Nε (зависящий от ε ), что при всех номерах n его превосходящих, выполняется неравенство .

Более кратко (наизусть!) в кванторах это можно записать следующим образом:

.

Заметим, что по определению модуля две записи эквивалентны

.

Окрестность называют «ε-окрестностью» числа а, при этом, число а называют пределом числовой последовательности или точкой сгущения.

Основные теоремы о пределах

Т. 1.

(О единственности предела). Если переменная имеет конечный предел, то он единственный.

Proof:

Пусть переменная имеет два (различных, конечных) предела a и b. Пусть, например, a<b.

Тогда, по определению предела:

, (1)

. (2)

Выберем в качестве номера , тогда неравенства (1) и (2) выполняются.

Пусть (такой выбор возможен, т.к. ε – любое, сколь угодно малое, положительное число).

Тогда переменная попадает в две непересекающиеся «ε-окрестности» т. a и т. b, что невозможно.

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Note 1

Д Т. 2. ома или на п/з доказать: Если (начиная с некоторого номера) выполняется неравенство и и , то .

Т. 3.

Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Proof:

Def.	Числовая последовательность называется сходящей, если она имеет конечный предел.

Def.	Числовая последовательность называется ограниченной, если , такое, что для выполняется неравенство .

Пусть числовая последовательность сходится. Это значит, что для . Т.е. бесконечное множество членов последовательности попадает в «ε-окрестность» точки а, или лишь конечное число членов последовательности находится вне ее.

Пусть , тогда неравенство выполняется при .

Т. 4.

(Теорема о сжатой переменной или «правило двух милиционеров») Пусть, начиная с некоторого номера n выполняется двойное неравенство . Пусть и , тогда .

Proof:

, (1)

. (2)

Выберем в качестве .

Тогда неравенства (1) и (2) – выполняются.

Учитывая, что ,

,

и, оставляя левую часть первого неравенства и правую часть второго, получим

или

,

, что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Графически это можно изобразить так.

Т. 5.

Если числовая последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Proof:

Пусть числовая последовательность монотонно возрастает (в строгом смысле), т.е.

.

Пусть M – одна из верхних границ (очевидно, что таких верхних границ найдется бесконечное множество).

Пусть – точная верхняя грань множества .

Докажем, что и есть предел переменной , т.е.

.

Так как неравенство

,

то необходимо доказать, что, для .

Левая часть неравенства выполняется, т.к. по условию теоремы монотонно возрастает.

П равая часть неравенства очевидна, т.к. M* – точная верхняя грань множества , ч.т.д.

Note 2

Дома или на п/з доказать, что монотонно убывающая числовая последовательность, ограниченная снизу, имеет конечный предел.

Note 3

Дома или на п/з доказать, что предел константы есть сама константа.