Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве

1. Плоскость. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей

Пусть в трехмерном пространстве с д.п.с.к. XYZ задана плоскость P.

Пусть: т. – фиксированная точка P;

т. – «текущая» точка P;

вектор , причем, .

Тогда скалярное произведение векторов и равно нулю, т.е. .

Учитывая проекции векторов и

,

получим

– уравнение плоскости

и проходящей через

т. .

Преобразуем последнее уравнение

или .

Обозначая , получим

– общее уравнение плоскости.

Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей

Пусть две плоскости P₁ и P₂ заданы уравнениями

P₁ : ,

P₂ : .

Так как , , то

, если , т.е. ;

, если , т.е. .

Note 1

Дома или на п/з получить нормальное уравнение плоскости , где p – расстояние от т.О(0;0) до плоскости P, , , – направляющие косинусы нормали .

Note 2

Дома или на п/з получить нормальное уравнение плоскости в отрезках , где a, b, c – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях 0X, 0Y, 0Z.

2. Прямая. Каноническое, параметрическое и общее уравнение прямой

Пусть в трехмерном пространстве с д.п.с.к. XYZ задана прямая L.

Пусть т. – фиксированная точка L;

т. – «текущая» точка L.

Пусть вектор . Вектор называют направляющим для прямой L. Пусть заданы координаты направляющего вектора, причем, .

Рассмотрим вектор .

Так как по условию , то .

Условие параллельности двух векторов:

– каноническое уравнение прямой.

Note 1

Дома или на п/з (исходя из того, что вектор можно представить в виде , где t – параметр) получить параметрическое уравнение прямой L: где

Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть прямая L задана направляющим вектором .

Пусть вектор нормали к плоскости P имеет координаты

Тогда: , если , т.е. ,

, если , т.е.; .

Note 2	Дома или на п/з получить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Note 3	Дома или на п/з получить общее уравнение прямой (как линию пересечения двух плоскостей)
Note 4	Дома или на п/з получить формулу для расчета косинуса угла между двумя прямыми L1 и L2 , где и – направляющие векторы. .

Note 5

Дома или на п/з получить формулу для расчета синуса угла между прямой L и плоскостью P. .