Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ …………………...………………………………………………. 6

Условные обозначения и сокращения…………………………………………….. 7

Глава 1. Элементы теории множеств. Системы координат 8

1.1. Основные понятия о множествах 8

1.2. Числовые множества 9

1.3. Декартова прямоугольная система координат 9

1.4. Полярная система координат 10

1.5. Преобразование координат. Параллельный перенос, поворот осей 10

Глава 2. Элементы векторной алгебры 11

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами 12

2.2. Проекция вектора на ось 13

2.3. Линейная независимость векторов. Базис. Размерность линейного пространства 14

2.4. Разложение вектора в декартовом базисе 14

2.5. Скалярное произведение векторов. Свойства 16

2.6. Векторное произведение векторов 18

2.7. Приложения к задачам механики и геометрии 19

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости 20

3.1. Уравнение линии 20

3.2. Различные виды прямой 20

3.3. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых. Деление отрезка в данном отношении 24

3.4. Кривые второго порядка. Окружность 26

3.5. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Основные характеристики 27

3.6. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Асимптоты 29

3.7. Парабола. Вывод канонического уравнения. Виды парабол 31

3.8. Кривые второго порядка в полярной системе координат 34

Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве 35

4.1. Плоскость. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей 35

4.2. Прямая. Каноническое, параметрическое и общее уравнение прямой 37

Глава 5. Введение в математический анализ 38

5.1. Функция натурального аргумента 39

5.2. Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах 40

5.3. Бесконечно малые величины. Классификация 44

5.4. Бесконечно большие величины. Связь их с бесконечно малыми 46

5.5. Теорема о пределах 47

5.6. Предел функции действительного аргумента 48

5.7. Первый замечательный предел 49

5.8. Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы 51

5.9. Неопределенности и их раскрытие 51

5.10. Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции. Равномерная непрерывность 53

5.11. Разрывы. Классификация разрывов 54

5.12. Теоремы о непрерывных функциях на отрезке 55

Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 57

6.1. Определение. Правила и формулы дифференцирования 57

6.2. Дифференциал. Инвариантность формы записи дифференциала 63

6.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 65

6.4. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 66

6.5. Производные и дифференциалы высших порядков 67

6.6. Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически 68

Глава 7. Теоремы о среднем 69

8.1. Теорема Ферма 69

8.2. Теорема Ролля 70

7.3. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл 70

7.4. Теорема Коши 72

7.5. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 73

7.6. Многочлен Тейлора и Маклорена. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа 74