Тема 5. Системы линейных одновременных уравнений. Идентификация систем одновременных уравнений. Двухшаговый, трехшаговый и косвенный мнк.

Нередко при моделировании реальных экономических объектов для объяснения механизма их функционирования приходится строить систему уравнений, состоящую из тождеств и регрессионных уравнений. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y) рассматривается как функция одного и того же набора объясняющих факторов (x₁, х₂,…,х_m):

Каждое уравнение такой системы может рассматриваться самостоятельно, а для нахождения его параметров применяется метод наименьших квадратов.

Если зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении, то можно построить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

Каждое уравнение такой системы также может рассматриваться самостоятельно, а его параметры оцениваются методом наименьших квадратов.

В системе линейных одновременных уравнений одни и те же переменные (y) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других. Такая система уравнений называется структурной формой модели. Каждое уравнение в системе одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, поэтому метод наименьших квадратов для оценки параметров неприменим.

В общем случае структурная форма модели имеет вид:

Зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, называются эндогенными переменными и обозначаются y.

Предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными и обозначаются x.

Примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, когда объем спроса на товар (Q^d) определяется его ценой (P) и доходом потребителя (I), объем предложения (Q^s) – его ценой (P) и достигается равновесие между спросом и предложением:

Переменные Q^d, Q^s, и P формируют свои значения внутри модели, согласно уравнениям системы, и таким образом, являются эндогенными переменными. Переменная I полагается заданной, ее значения формируются вне модели, и она является экзогенной.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов модель преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где δ_ij – коэффициенты приведенной формы модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной приходится сталкиваться с проблемой идентифицируемости модели. Идентифицируемость – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;

• неидентифицируемые;

• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом, по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два и более значений одного структурного коэффициента.

Необходимое условие идентифицируемости:

D + 1 = H – уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо,

где H – число эндогенных переменных в уравнении, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение.

Достаточное условие идентифицируемости:

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без единицы.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Рассмотрим ряд модификаций модели спроса-предложения.

1. Модель спроса-предложения с учетом тренда.

Если предположить изменение спроса со временем, то в первое уравнение системы необходимо добавить временной тренд:

Приведенная форма модели запишется в виде:

Исходная система не оказывается идентифицируемой, поскольку параметр β₅ является сверхидентифицируемым. Чтобы это показать, запишем систему в следующем виде:

Сравнивая две записи приведенной формы, легко заметить, что оценку β₅. можно получить двумя способами: как e/b и f/c.

2. Модель спроса-предложения с учетом налога.

Предположим, что продавцы товаров облагаются специальным налогом T. Величина налога меняется со временем и представлена временным рядом. Тогда система уравнений запишется следующим образом:

В данном случае система является идентифицируемой, но если теперь предположить, что доход I на протяжении длительного времени является постоянной величиной, то в уравнении спроса переменную I следует исключить.

Данная система уравнений уже не является идентифицируемой. Получить идентифицируемое уравнение формирования предложения можно, наложив ограничение на структурные коэффициенты: β₅ = -ρ. Смысл этого ограничения в том, что мы полагаем, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т.е. Р* = Р - Т.

Пример 6. Структурная форма модели имеет вид:

где: С_t – личное потребление в период t,

S_t – зарплата в период t,

P_t – прибыль в период t,

R_t – общий доход в период t,

R_t-1 – общий доход в период t-1,

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

Решение.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений, состоящую из двух уравнений, которые необходимо проверить на идентифицируемость для определения способа оценки параметров, и тождества, параметры которого известны, поэтому необходимости в проверке его на идентифицируемость нет.

Модель включает три эндогенные переменные (C_t, S_t, R_t) и три экзогенные переменные (P_t, t, в том числе одну лаговую переменную R_t-1).

Проверим уравнения модели на идентифицируемость.

1 уравнение.

Проверим выполнение необходимого условия идентифицируемости. Это уравнение включает две эндогенные переменные (C_t ,S_t) и одну экзогенную переменную (P_t). Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных системы, не входящих в это уравнение, также равно двум D = 2. Получаем: D + 1 > H, следовательно, первое уравнение сверхидентифицируемо.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в первое уравнение (R_t, R_t-1, t):

Номер уравнения	Rt	Rt-1	t
2	b21	b22	b23
3	-1	0	0

Ее ранг равен 2, так как определитель квадратной подматрицы 2х2 этой матрицы не равен нулю:

,

и достаточное условие идентифицируемости выполняется.

2 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (S_t ,R_t) и две экзогенные переменные (R_t-1, t). Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 1. Получаем: D + 1 = H, и второе уравнение является точно идентифицируемым.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение (C_t, P_t):

Номер уравнения	Сt	Pt
1	-1	b12
3	0	1

Определитель этой матрицы не равен нулю, а ее ранг равен 2:

^.

Таким образом, второе уравнение системы точно идентифицируемо. Но так как первое уравнение системы сверхидентифицируемо, то вся модель является сверхидентифицируемой.

Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Здесь ν₁, ν₂, и ν₃ - случайные ошибки.

Поскольку модель является сверхидентифицируемой, то для оценки параметров уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов. 

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

• косвенный метод наименьших квадратов;

• двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2. для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты (δ_ij) обычным МНК;

3. коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1. составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2. выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3. обычным МНК определяются параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнения ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

Задание:

1. Определите метод оценки параметров модели.

2. Изложите методику оценки структурных параметров модели.

Решение.

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе – точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения - косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:

Параметры δ_ij каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и нахо-дятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере это переменная S_t, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной S_t, подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

.

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели δ_ij уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную P_t и ввести переменную R_t.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную P_t:

P_t = 1/δ₃₂(R_t – δ₃₀ – δ₃₁R_t-1 – δ₃₃t –ν₃)

и подставляем ее во второе уравнение приведенной формы:

S_t = δ₂₀ + δ₂₁R_t-1 + δ₂₂/δ₃₂(R_t – δ₃₀ – δ₃₁R_t-1 – δ₃₃t –ν₃) + δ₂₃t +ν₂.

Теперь раскрываем скобки:

S_t = δ₂₀ + δ₂₂/δ₃₂∙R_t + (δ₂₁ – δ₃₁δ₂₂/δ₃₂)R_t-1 + (δ₂₃ – δ₃₃δ₂₂/δ₃₂)t +ν₂ – δ₂₂/δ₃₂∙ν₃.

Сопоставляя полученной уравнение со вторым уравнением структурной формы, определяем коэффициенты:

a₂ = δ₂₀ – δ₃₀/δ₃₂;

b₂₁ = δ₂₂/δ₃₂;

b₂₂ = δ₂₁ – δ₃₁δ₂₂/δ₃₂;

b₂₃ = δ₂₃ – δ₃₃δ₂₂/δ₃₂;

ε₂ = ν₂ – δ₂₂/δ₃₂∙ν₃.

Таким образом, все параметры структурной формы модели определены. 