3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).

Сутність методу – розклад шуканого розв’язку на добуток найпростіших компонент.

Метод поділення змінних вживається у таких випадках:

1.Рівняння лінійне й однорідне (не обов’язково з постійними коефіцієнтами).

2.Граничні умови задаються у вигляді:

,

де – константи (такі граничні умови називаються лінійними однорідними ).

3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.

Для найпростішого рівняння з частинними похідними поділення змінних – це пошук розв’язку у вигляді:

де X(x) – функція, залежна від змінної х;

T(t) – функція, залежна від змінної t.

Необхідно знайти нескінченне число таких розв’язків рівняння з частинними похідними, які задовольняють граничним умовам. Ці найпростіші функції називаються фундаментальними розв’язками.

Розв’язок задачі U(x,t) знаходиться у вигляді лінійної комбінації фундаментальних розв’язків тобто вислідна суми

яка задовольняє початковим умовам. І оскільки ця сума задовольняє рівнянню і граничним умовам, вона є розв’язком вихідної задачі.

3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.

Знайти функцію U(x,t), яка є розв’язком задачі

(3.1)

(3.2)

(3.3)

де – постійна величина.

Будемо шукати розв’язок у вигляді:

(3.4)

Підставимо (3.4) в рівняння (3.1), одержимо:

Поділимо обидві частини останнього рівняння на

У цьому виразі змінні поділені, тобто ліва частина рівняння залежить від t, а права – тільки від x. І оскільки x і t незалежні одне від одного, то кожна частина цього рівняння повинна бути константою. Позначимо її через k, тоді

або

Тепер можна розв’язати кожне з цих звичайних диференціальних рівнянь. Добуток відповідних розв’язків буде задовольняти вихідному рівнянню з частинними похідними.

Слід звернути увагу на ту обставину, що константа k повинна бути від’ємною (у протилежному випадку рівняння з граничними умовами X(0)=0 і X(L)=0 має тільки розв’язок X(x)=0, тобто функція T(t) повинна наближатися до нуля при t ).

Виходячи з цього, позначимо , де не може дорівнювати нулю, оскільки тоді розв’язок буде тривіальним. Отже вираз “- ” буде завжди від’ємним. З урахуванням нового позначення для константи маємо два звичайних диференціальних рівняння першого і другого порядків:

Ці рівняння є однорідними рівняннями стандартного типу з постійними коефіцієнтами. Їх загальні розв’язкі мають вигляд

де – довільні сталі.

Підставляючи в добуток X(x)T(t) одержані вирази і об’єднуючи сталі, одержимо функцію виду

, (3.5)

яка задовольняє рівнянню у частинних похідних. Треба підкреслити, що знайшли нескінченний набір функцій, які задовольняють вихідному рівнянню з частинними похідними.