Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних. Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни

“Рівняння математичної фізики”.

Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”.

Мета завдання: виробити навички практичного використання математичного апарату у розв’язку задач з реальним фізичним змістом.

Типове завдання має три задачі: поширення тепла в стержні, повздовжні коливання струни та стаціонарне розподілення температури у платівці. Їх розв’язок ведеться одним з методів математичної фізики – методом поділення змінних, або як його інакше називають – методом Фур’є.

1.Виведення рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжиною L при таких припущеннях:

1. стержень зроблений з однорідного матеріалу (мал.1.1);

0

мал.1.1

2. бічна поверхня стержня теплозольована (тепло може розповсюджуватись тільки вздовж осі OX);

3. стержень тонкий, тобто температура всіх точок у кожному поперечному перерізі стержня постійна і змінюється тільки від перерізу до перерізу.

Якщо розглянемо частину стержня на відрізку і скористуємось законом збереження тепла, тобто загальна кількість тепла на відрізку дорівнює сумі кількості тепла, що проходить через межі, й тепло створене всередині відрізку, тобто:

(1.1)

З іншого боку, якщо ввести позначення:

– температура стержня,

- питома теплоємність матеріалу (означає здібність матеріалу запасати тепло),

- густина матеріалу,

– площа поперечного перерізу стержня

і скористатися формулою обчислення тепла на відрізку стержня, то маємо

.

Тоді закон збереження енергії (1.1) можна записати в математичній формі:

(1.2)

де – теплопровідність матеріалу (здатність матеріалу проводити тепло),

– об’ємна потужність зовнішнього джерела тепла.

Задача полягає у тому, що треба записати рівняння (1.2) у формі, в якій нема інтегралів. Для розв’язку цієї задачі треба вжити теорему про середнє значення: якщо функція неперервна на відрізку , то існує не більш, як одна точка така, що

.

В результаті одержимо наступне рівняння

або, якщо поділити на , то

.

Спрямуємо до і одержимо шукане рівняння:

, (1.3)

де - коефіцієнт теплопровідності,

– щільність джерела тепла.

Розглянемо випадок, коли бічна поверхня стержня не теплоізольована. Відомо, що величина теплового потоку через бічну поверхню стержня в цьому випадку пропорційна різниці між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, яка підтримується постійною і дорівнює нулю.

У цьому випадку закон збереження кількості тепла призводить до рівняння:

, (1.4)

де - коефіцієнт пропорційності для потоку через бічну поверхню.