8.Понятие сходящихся постей, lim пости.

Опр Если для любого  >0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a< 

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой -окрестности.

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если >0 =(, a)>0 такое, что xE, удовлетворяющих неравенству 0<|x – a|< выполняется |f(x) – A|<. Обозначение .

Определение 2. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если для любой последовательности {xn} точек xnE\{a}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к А.

Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если >0 =(, a)>0 такое, что xE, удовлетворяющих неравенству 0<x – a< (0<а – x<) выполняется |f(x) – A|<. Обозначение .

Теорема 10.2. Функция f(x) имеет предел при xa тогда и только тогда, когда в точке а существуют левый и правый пределы, равные между собой.

11.2. Критерий Коши

Теорема 11.2. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда , что , удовлетворяющих условиям , справедливо: (условие Коши).

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть . Фиксируем . В силу определения 1 § 1 , что если и , то и , тогда .

2) Достаточность.

Пусть удовлетворяет условию Коши в точке , покажем наличие предела. Пусть – произвольная последовательность из сходящаяся к . Согласно определению 3 предела по Гейне, достаточно доказать, что: а) соответствующая последовательность сходится к некоторому числу ; б) это число одно и тоже для всех сходящихся к последовательностей .

а) Фиксируем согласно условию Коши так как – сходится к , то по этому , что и , но тогда по условию Коши , . Это означает фундаментальность последовательности и, следовательно, в силу критерия Коши Т.1 §2 гл.3 последовательность сходится к некоторому числу .

б) Покажем, что не зависит от выбора последовательности сходящейся к .

Пусть также сходится к , но . Рассмотрим последовательность – эта последовательность также сходится к . По ранее доказанному последовательность обязана сходиться к некоторому пределу . Но тогда и любая ее подпоследовательность обязана сходиться к этому же пределу. Итак, подпоследовательность с нечетным номером сходится к , а с четными к . Следовательно, . Теорема доказана.

Определение 2. Функция называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если , что выполняется ( ).

Определение 3. Функция называется

возрастающей на , если ,

неубывающей ,

невозрастающей ,

убывающей на .

Функции перечисленных типов называются монотонными.

п. 1. Первый замечательный предел

Теорема 12.1. .

– ордината точки, в которую переходит точка (1,0) при повороте на угол радиуса.

1) докажем, что при . Так как и – четные формулы, то достаточно рассмотреть .

.

Итак, .

.

2) (причем равенство возможно только при .

Действительно, для 2) следует из 1), а для , также получаем .

3) , т.к. и .

4) , т.к. , для .

п. 2. Теорема 12.2. .

Доказательство. Рассмотрим – целая часть наибольшее целое число, не превосходящее . , очевидно , если .

Вспомним, что .

т.е. .

Аналогично .

Замена приводит к .

Определение 1. Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Заметим, что если , то бесконечно малая и .

Определение 2. Говорят, что функция есть бесконечно малая по сравнению с функцией в точке и пишут при , если в некоторой окрестности справедливо , где – бесконечно малая, (т.е. ).

Определение 3. Если и – бесконечно малые при , то говорят, что – есть бесконечно малая более высокого по сравнению с порядка при .

Определение 4. Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева)

, что , .

Если же , что , .

Пусть – область определения функции , . Описательно говоря, функция непрерывна в точке , если ее значение по мере приближения аргумента к приближается к значению .

Определение 2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке , если правое (левое) предельное значение этой функции в точке существует и равно .

Определение 3. называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .

Совокупность всех непрерывных функций на обозначим .

Определение 4. Если не является непрерывной в некоторой точке множества , то эта точка называется точкой разрыва функции . Иначе

точка разрыва , если

.

Определение 5. Если точка разрыва функции такова, что существует непрерывная функция , такая что , то называется точкой устранимого разрыва. (Иначе, , но ).

Определение 6. Точка называется точкой разрыва 1-го рода для , если существует ,

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода для , если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов , либо .

Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Монотонная функция , заданная на отрезке , непрерывна на нем тогда и только тогда, когда множество ее значений само является отрезком с концами и .

Доказательство. Если f – непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности f все значения, которые функция принимает на отрезке , лежат между значениями и , которые она принимает в концах отрезка. Ввиду непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между и . Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке , действительно является отрезком с концами и .

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f – монотонная на отрезке функция. Если она разрывна в некоторой точке , то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов заведомо определен и в нем нет значений нашей функции. Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами , , поэтому если на отрезке монотонная функция имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами , не может лежать в области значений функции.

Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция , строго монотонная на множестве , имеет обратную функцию , определенную на множестве значений функции f. Функция монотонна и имеет на Y тот же вид монотонности, какой имеет функция на множестве Х.

Если, кроме того, Х есть отрезок и функция f непрерывна на нем, то множество есть отрезок с концами , и функция непрерывна на нем.

Доказательство. Утверждение теоремы о том, что в случае и непрерывности f множество есть отрезок с концами , , следует из доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что – непрерывная функция. Но монотонна на Y, Y есть отрезок и – тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция непрерывна на отрезке Y с концами , .