Завдання 1

За даними 30 місяців заданого часового ряду уt були одержані значення коефіцієнтів автокореляції рівнів:

r1 = 0.63; r2 = 0.38; r3 = 0.72; r4 = 0.97; r5 = 0.55;

r6 = 0.40; r7 = 0.65;

ri - коефіцієнти автокореляції i – го порядку.

а) Охарактеризувати структуру цього ряду, використовуючи графічне відображення.

б) Для прогнозування майбутніх значень уt пропонується побудувати авторегресійну модель. Обрати найкраще рівняння авторегресії, обґрунтувати вібір. Записати загальний вид цього рівняння.

Розвязок:

А)

Так як значення усіх коефіцієнтів автокореляції достатньо високі, торяд має тенденцію. Оскільки найбільше абсолютне занчення має коефіцієгт кореляції 4-го порядку r₄, ряд має періодичні коливання, цикл цих коливань = 4.

Б)Найбільш доцільнішим є побудова рів-я авторегрессії:

Y_t=a+b₁y_t-3+b₂*y_t-4+u_t, оскільки спостерігається цикл у 4 часові періоди, тож доцільно побудувати багато чисельне рівняння кореляції, тобто залежності yt від усіх значень, починаючи від y_t3

Завдання 2

Відомі наступні значення рівнів безробіття у, (%) за 8 місяців:

Місяць …. 1 2 3 4 5 6 7 8

yt ………. 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

а) Визначити коефіцієнти автокореляції рівнів цього ряду першого та другого порядку.

б) Обґрунтувати вибір рівняння тренду й розрахувати його параметри.

в) Дати економічне тлумачення одержаних результатів.

Розв’язок:

А) R¹=

R¹=

R²=(∑(yt-yсер)*(y3-yсер))/(∑(yt-yсер)^2 )= (0.425*1.55)/2.625=0.244

Б) оскільки ніяких коливань сезонності та циклічності не спостерігається, і ми маємо чіткий спадаючий тренд, то найдоцільніше запропонувати модель тренду y_t= f_t + ε_t

Завдання 3

На основі статистичних даних за період 1981-1997рр., побудовані регресійні моделі динаміки валового внутрішнього продукту країни:

лінійна функціяŶ= a+ b×t;

σ²= 32,6; R2 = 0,965; F =276,88 (Fтабл = 4,96)

експоненційна функція Ŷ = a × e^,bt;Ln Ŷ = 6,46 + 0,083·t.

σ2= 0,06; R2 = 0,9952; F =2057,9 (Fтабл = 4,96)

Визначити за якою функцією оцінка тренду буде кращою.

Завдання 4

Виявити тенденцію в динамічному ряді методом Форстера-Стюарта за даними, які характеризують макроекономічний показник Yt та представлені в таблиці:

Рік (t)	1	2	3	4	5	6	7	8
Yt	10,3	14,3	7,7	15,8	14,4	16,7	15,3	20,2

Рік (t)	9	10	11	12	13	14	16	16
Yt	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

Розв’язок

1. Рахуємо кількість значень, які більші за всі попередні значення Σk_t = 5

Рахуємо кількість значень, які менші за всі попередні значення Σl_t = 1

2. s = Σ (k_t+ l_t) = 5+1 = 6

d = Σ (k_t- l_t) = 5-1 = 4

µ = 0,5 (оскільки інше µ не зазначено в умові)

3. σ1 = = = 1,456

ts = |s - µ| / σ1 = |6 – 0,5| / 1,456 = 3,777

σ2 = = 4,6996

td = |d - 0| / σ2 = |4 - 0| / 4,6996 = 0,8511

4. tтабл.= 2,1199

ts>tтабл. , отже тренд у середньому існує;

td<tтабл., отже тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Задання 5

В таблиці представлені дані про динаміку обсягів виробництва з 1-го по 14-й рік. Визначити форми кривої методом характеристик приросту та похідних характеристик приросту.

Рік (t)	1	2	3	4	5	6	7
Yt	36,6	49,3	101,7	125,8	134,4	146,7	175,3

Рік (t)	8	9	10	11	12	13	14
Yt	227,1	235,7	255,3	269,3	299,9	304,4	318,7

Розв’язок

Абсолютний базисний приріст ∆y_tб= y_t-y₁

Абсолютний ланцюговий приріст ∆y_tл = y_t – y_t-1

Базисний коефіцієнт приросту К пр. б = (y_t – y₁) / y₁

Ланцюговий коефіцієнт приросту К пр. б = (y_t – y_t-1) / y_t-1

Абсолютний темп приросту Т пр.а = ((y_t – y₁) / y₁)*100%

Відносний темп приросту Т пр. в = ((y_t – y_t-1) / y_t-1)*100%

Середній темп приросту Т с пр. = *100% - 100%

t	Yt	∆ytб	∆ytл	К пр. б	К пр. б	Т пр.а	Т пр. в
1	36,6	-	-	-	-	-	-
2	49,3	12,7	12,7	0,35	0,35	34,70	34,70
3	101,7	65,1	52,4	1,78	1,06	177,87	106,29
4	125,8	89,2	24,1	2,44	0,24	243,72	23,70
5	134,4	97,8	8,6	2,67	0,07	267,21	6,84
6	146,7	110,1	12,3	3,01	0,09	300,82	9,15
7	175,3	138,7	28,6	3,79	0,19	378,96	19,50
8	227,1	190,5	51,8	5,20	0,30	520,49	29,55
9	235,7	199,1	8,6	5,44	0,04	543,99	3,79
10	255,3	218,7	19,6	5,98	0,08	597,54	8,32
11	269,3	232,7	14	6,36	0,05	635,79	5,48
12	299,9	263,3	30,6	7,19	0,11	719,40	11,36
13	304,4	267,8	4,5	7,32	0,02	731,69	1,50
14	318,7	282,1	14,3	7,71	0,05	770,77	4,70

Т с пр. = 18,11

Отже, ми можемо констатувати монотонно зростаючу функцію, оскільки серед відносних характеристик приросту відсутні від’ємні значення, а абсолютні характеристики невпинно зростають. Значення кривої зазнають певних коливань, але вони не є сезонними, або циклічними. Найбільше зростання порівняно із попереднім спостерігалося у 3-му періоді.

Завдання 6

Задані рівні ВВП за 17 років (табл.1). На основі статистичних даних за перші 12 років побудована трендова модель динаміки валового внутрішнього продукту країни: та зроблений прогноз ВВП на 13-17 роки.

Визначити прогнозну якість побудованої моделі.

t	Yt (Рівень ВВП)	(Розрахунковий ВВП)	еt= Yt-
1	705,1	620,9307692
2	772	715,5251748
3	816,4	810,1195804
4	892,7	904,713986
5	963,9	999,3083916
6	1015,5	1093,902797
7	1102,7	1188,497203
8	1212,8	1283,091608
9	1359,3	1377,686014
10	1472,8	1472,28042
11	1598,4	1566,874825
12	1782,8	1661,469231
13	1990,5	1756,063636	234,43636
14	2249,7	1850,658042	399,04196
15	2508,2	1945,252448	562,94755
16	2732,0	2039,846853	692,15315
17	3052,6	2134,441259	918,15874

MAE=∑e/n=(234,43636+399,04196+562,94755+692,15315+918,15874)/5=561,35

MSE=∑e²/n=54960.407+159234.49+316909.94+479075.98+843015.47=370639.24

RMSE=кореньMSE=608.8

MAPE=∑ = * ( + + + …) = 21,5 %