Глава 2

2. 1) Федоров не юрист.

2) Федоров – следователь. 3) Федоров – юрист, но не следователь.

4) Если Федоров– юрист, то он следователь прокуратуры.

5) Чтобы Федоров был юристом, достаточно, чтобы он был следователем прокуратуры.

6) Из того, что Федоров не юрист, следует, что он не является следователем прокуратуры.

7) Если Федоров не следователь, то он не юрист.

8) Федоров не юрист или он следователь прокуратуры.

9) Неверно, что Федоров юрист и не работает следователем прокуратуры.

4. 1. s  (v  ); 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. 8. ; 9. ; 10. .

8. (a  )  (  b).

11. Указании. Высказывание «Если а, то b», равносильно следующим высказываниям: «Для b достаточно а», «Для а необходимо b», «b тогда, когда а», «а только тогда, когда b».

12. a истинно, b ложно, c ложно.

13. a истинно, b ложно, c истинно.

14. 1) . 2) Импликация истинна. 3) Импликация истинна. 4) Ничего определенного. 5) Импликация истинна. 6) Импликация ложна.

15. Решение. В истинной импликации заключение ложно, следовательно, посылка ложна, т. е. «это, конечно Сова»;

17.

5. 6)

a	b	c				a	b	c		a 
1 1 1 0 0 0 1 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 1 0 0 0	1 1 0 0 0 0 0 0	1 1 1 1 1 0 0 0		1 1 1 0 0 0 1 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 1 0 0 0	0 0 1 0 1 0 1 1	1 1 1 0 1 0 1 1	1 0 1 0 1 0 0 0

7) 8)

a	b	c	a b				a	b	c		b  c		
1 1 1 0 0 0 1 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 1 0 0 0	1 1 0 0 0 0 0 0	0 0 1 1 1 1 1 1	0 0 1 1 1 0 0 0		1 1 1 0 0 0 1 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 1 0 0 0	0 0 0 1 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 0	0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 0 1 1 1 1 1

22. б)  

.

в)

.

26. Один из способов решения следующий.

Составляем таблицу значений данной функции и находим соответствующую СДНФ. Полученную формулу упрощаем и получаем:

а) ; б) x y; в) x  y; г) x  y; д) ; е) (x  y) z.

28. Решение. 1) Для того, чтобы доказать что данный аргумент — правильный, нужно доказать, что формула (a  b) a  b является тождественно истинной: (a  b) a  b   b  (a b)   b  (а  b) ( b  b)  (1  b) (  1)  1;

2) (a  b)    b  (a )  (  b)  1;

6) Докажем, что ( a  b) b  b  1: ( a  b) b  b    b  1; 7) (a  b)    a   1.

31. Решение. Введем обозначения простых предложений, из которых состоит рассуждение: a – «куплены астры», g – «куплены георгины», s – «цветы светлые», k – «цветы красные». Тогда логическая схема рассуждения имеет вид: .Проверим, будет ли тавтологией соответствующая импликация: .

 

   Аргумент правильный.

. 35. Пусть – «Луи виновен», f – «Франсуа виновен», e – «Этьен виновен». Запишем высказывания бродяг на языке алгебры высказываний.

Луи: .

Франсуа:

Этьен: .

Нам известно, что Этьен всегда лжет, а Луи и Франсуа всегда говорят правду. Значит =1. Преобразуем левую часть:  ( ) . Тогда .

Таким образом, f = 1, e = 0, l = 0, т. е. Франсуа виновен, а Этьен и Луи не виновны. Проверим, удовлетворяют ли эти значения истинности переменных другим двум условиям: и . Подстановка найденных значений f = 1, e = 0, l = 0 в последние уравнения убеждает, что решение задачи найдено: Франсуа виновен, а Этьен и Луи не виновны.

36.Пусть символы а, b, с, d обозначают, соответственно, высказывания:

а – А участвовал, b – В участвовал, с – С участвовал, d – D участвовал. Тогда предложения 1) – 4) запишутся в виде импликаций:

а  b, b  с  ,  а , d  a.

Так как каждая из импликаций истинна, то и их конъюнкция тоже истинна:

(а  b) (b  с  ) (  а ) (d  a) = 1.

Преобразуем левую часть тождества, освобождаясь от импликаций:

(  b) (  c  ) (d  a ) (  a) =1. К третьей скобке применим дистрибутивный закон и переставим два последних сомножителя:

(  b) (  c  ) ((d  a ) (  a)) (d  ) = 1.

Преобразуем формулу (d  a ) (  a), используя свойства логических операций: (d  a ) (  a)  (d )  a  0  a  a. Тогда наше тождество запишется следующим образом:

(  b) (  c  ) a (d  ) 1.

Отсюда следует, что а = 1, и, следовательно, тождество примет вид:

b (  c) (d  ) = 1.

Значит b =1, = 0, и c (d  ) = 1. Отсюда с =1 и, следовательно, d = 1.

Ответ. Участвовали все.

37. Преступник - Валет.

38. Если Г говорит правду, то и В говорит правду, но по условию задачи правду сказал один и только один из подозреваемых. Значит, Г лжет, следовательно, лжет и В. Пусть а – «А виновен», е – «Е виновен». Тогда высказывание В можно записать таким образом: а  е. Оно ложно, следовательно, его отрицание будет истинно: = 1. Применим закон де Моргана: . Значит А и Е не виновны и Е говорит правду, а остальные лгут. Таким образом, преступление совершил Б.

65. . а) a & b, б) a  b, в) а, г) , д) 1, е) в этой КС никогда не будет проходить ток. Ей соответствует формула 0.

69. Для каждой контактной схемы необходимо составить соответствующую структурную формулу и упростить ее, используя свойства логических операций. Затем составить контактную схему, соответствующую новой формуле.

а) Структурная формула схемы имеет вид (а  b)  ((c  a) b). Упростим ее : (а  b)  ((c  a) b)  (a  b)  ((c b)  (a b)) 

 (a  (b  ))  (c b)  a  (c b)

Контактная схема упрощенной формулы имеет

вид

б) (a  (a ))  (a )  a ((a a) b) 

 a b

в) (b )  (a c)  (a b c)  (b )  (a  ) ( c) =

(b )  ( c)  (b ) c  c

г) a  ((a  ) (b c)) b  c  a  (a   с) (b  b c)  a  a   c  a   c .

70. а) ((x  z) y)  (x z) ( z)  ((x  z) y)  z ( x )  ((x  z) y)  z  x y  z y  z  x y  z

б) x (x  y)  x y z  ((  y) (z  y))  x  y

а) б)

71. Указание. Сначала постройте формулу алгебры высказываний, а затем соответствующую контактную схему.

72. Сначала постройте таблицу, задающую функцию, которая соответствует ситуации, описанной в задаче, затем найдите формулу, задающую эту функцию, а по ней – соответствующую схему.

82. а) ; б) (х) (Р(х) R (x, 2) );

в)  (х)( );

г)  (х)( );

д) , где P(x) означает {x – невиновен}, S(x) означает {x - привлечен к уголовной ответственности}.

84. а) 5 – простое число; б) 2 – число простое и четное; в) Если число х делится на 2, то оно четное; г) Существует четное число, которое делится на 6; д) Существует число являющееся нечетным и простым; е) Всякое число, не являющееся четным, не делится на 2; ж) Если число делится на четное число, то оно само является четным; з) Для всякого простого числа существует четное число, которое на него делится; и) не для любых нечетного числа х и простого числа у, х не делится на у.

86. а) , . Каждое число не является простым или наибольшим; б) Обозначим через F множество преступлений и рассмотрим предикаты: S(x) = {х  F | х – вымогательство}, Р(х) = {х  F | х влечет лишение свободы}. Тогда . Существуют вымогательства, которые не влекут лишения свободы; в) ; . Всякий поезд или не идет из Москвы в Ярославль, или в нем существует вагон, в котором все места заняты.;.

г) S(х) = {х совершил преступление}, Р(х) ={х подвергнут справедливому наказанию} .Существуют люди, совершившие преступления, но не подвергшиеся справедливому наказанию.

87. а) Пусть Р(х) = {х — подлежит обязательному медицинскому страхованию}, тогда данное высказывание запишется следующим образом:

(х)Р(х). .Существуют работники, не подлежащие обязательному медицинскому страхованию.

б) S(х) = {человек х свободен}, Т(х,y) = {х и y равны в своих правах}, Р(х,y) = {х и y равны в своих достоинствах}, ; . Некоторые люди рождаются свободными, но не равными в своих достоинствах или не равными в своих правах.

д) Пусть X – множество различных утверждений. На нем заданы предикаты: Р(х)={утверждение x есть приговор}, Q(x)={x – обоснованное утверждение}. Тогда высказывание можно записать в виде . Отрицание постройте самостоятельно.

е) Р(х, у) = { х прочитал у}; (у)(х)( Р(х, у)) ; . Для любой книги найдется человек, который ее не прочитал.

ж) Р(x) = {х осужден за совершение преступления}; Q(х) = {х освобожден по амнистии}; . Некоторые люди, осужденные за совершение преступлений, не освобождаются по амнистии. Отрицание постройте самостоятельно.

з) Пусть D — множество образцов производственного оборудования.

Р(х) = {х D  х отвечает требованиям охраны труда}; S(х) = {х D  х передан в серийное производство}; ;  . Существует образец производственного оборудования, который не отвечает требованиям охраны труда, и в то же время он передан в серийное производство.

88. а) (х)(Ф(х)) Ù (х₁)(х₂)(Ф(х₁) ÙФ(х₂)) (х₁= х₂);

б) (х₁)(х₂)(Ф(х₁) ÙФ(х₂) Ù ( ); в) (х₁)(х₂) (х₃) (Ф(х₁) ÙФ(х₂) ÙФ(х₃)) (х₁= х₂)(х₂= х₃)(х₁= х₃); г) (х₁)( х₂)((Ф(х₁) ÙФ(х₂) Ù )(х₁)(х₂) (х₃) (Ф(х₁) ÙФ(х₂) Ù Ф(х₃)) (х₁= х₂ )(х₂= х₃ )(х₁= х₃).

90. 1) а) Т_р  Т_q , б) Т_р  Т_q, в) Т_q  Т_р, г) Т_р  Т_q = ; 2) а) Т_р  Т_q,

б) или .