Глава1

2. а) Элементы данного множества – натуральные числа, меньшие 8, т. е. имеем множество {x | х  N, x<8}; б) Элементы данного множества образуют первые 6 членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 4, иначе говоря, речь идет о множестве { }; в) ; г) {x | x  Q, x² = 2}; д) {x | x = (1)ⁿ(x_n+3), где x₁= 5, n  5}; е) {x | x – простое, x  19}.

6. a) По степени общественной опасности во множестве А всех правонарушений выделяются два подмножества: В – множество преступлений и С – множество проступков; А = В  С . В свою очередь, С = С₁  С₂  С₃  С₄ , где С₁ – множество гражданско-правовых, С₂ – множество конституциональных, С₃ – множество административных, С₄ – множество дисциплинарных проступков.

b) по сферам общественной жизни А = D  E  F  T, где

D – множество правонарушений в экономике, E – множество правонарушений в политике, F – множество правонарушений в социально-бытовой сфере, Т– множество правонарушений в культурной (общественной) сфере.

7. а) АВ = (1, 8), АВ = ; б) АВ = (–3, 8), AB = [5, 6].

8. АВ= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, AB = {4, 9}, А\В= {1, 2, 6}, В\А = {3, 5, 8}.

9. 1) ABCD = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 2) ABCD = {3, 4}, 3) (А  В)  ( С  D) = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, 4) (A  B)  (C  D) ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

10. Решение.

А – множество отцов (отец и дед мальчика), |А| = 2,

В – множество сыновей (мальчик и его отец), |В| = 2,

С – состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. С = А  В, |С| = 3, так как отец мальчика принадлежит множествам А и В.

11. 1) АВ = N, 2) АВ = , 3) А \ В = A.

12. АВ = {х | х  N, x делится на 6}, ВС = {х | х  N, x делится на 15},

АВС = {х | х  N, x делится на 30}.

13. г) д)

е) Этот пример аналогичен предыдущему;

ж) Объединение множеств (), () (см. п. в) ) будет таким:

з) Воспользуемся законом де Моргана: = . Значит, ответ будет такой же, как и в задаче в).

и) Изобразим множества А \ В (1) и В \ А (2):

( 1) (2)

Их объединением будет множество, представленное ниже:

к ) Покажем объединение и пересечение множеств А и В:

Их разностью будет множество:

14. а) Решение.

Сначала изобразим множества, находящиеся в скобках, а затем требуемое множество.

а )

б )

в)

г)

д )

е)

17. Каждое из данных множеств может быть задано неоднозначно: несколько формул могут выражать одно и тоже множество.

1) , , , , и т. д.

2) ((А \ B) \ C)  A  B  C; (А   )  A  B  C; и т. д.

3) Возможные ответы: (А  В  С) ;

((А \ B) \ C)  ((С \ B) \ А)  ((В \ А) \ C) .

4) ((С  В) \ А)\ (В  С))  А  В  С.

5) ((А  С) \ (A  В  С))  ( В \ ((А  В)  (В  С));

((А  С) \ В)  (В \ (А  С)).

6) Элементы этого множества принадлежат ровно двум из множеств

А, В, С. Возможны варианты:

(А  (В \ C))  (А  (C \ B))  (B  (C \ A));

((А  В) \ C)  ((А  C) \ B))  ((B  C) \ A));

((А  В)  (А  C)  (B  C)) \ (A  B  C).

18. 1) А  (А  В) = (А  )  (А  В) = А  (В  ) = А   = А.

2) (P  Q) (  P) = Р.

3) (А  В  )  ( А  В)  ((В  С  ) =

= (А  (В  ))  ( А  В)  (В  (С  )) =

= (А )  ( А  В)  (В  ) =   ( А  В)   = А  В.

4) (А  В)  ((А  В)  (  B)) = В.

22. 1) В  А; 2) А = В; 3) А  В; 4) А = В;

5) ; 6) В  А, В  А; 7) В  А; 8) В  А.

25. а) 2, б) 35, в) 50. 26. 22, 30. 27. 20, 13, 20,14. 28. 11, 1, 3. 29. 3, 3. 30. 10. 31. 30. 32. 10. 33. 3, 9. 39. 26. 40. 435. 41. 1. 42. 15. 44. 50%, 10%. 45. 18, 12, 5. 49. 20. 50. 25;20. 51. 147. 52. 60, 36. 53. 20. 54. 3⁶. 55. 9, 20. 56. 2⁹. 57. 3⁷. 58. 900. 59. 4536; 60. 9!. 61. 42. 62. 13800. 63. 81. 64. 54. 65. . 66. 992. 67. 9, 9, 8. 68. 1024, 992, 4032. 69.768. 70. 294. 72. 3^m. 73. 336. 74. 55440. 75. 2(5!)². 77. 1) 151200, 2) ; 3) . 78. 1) 1560, 2) 96. 79. =3 185. 80. . 81. . 82. 37512. 83. а)4, б)36. 84. . 85. 1) 60, 2) 24. 86. . 87. . 88. 89. 7054320. 90. 1500. 91. 28800. 92. . 93. 99!. 94. 4080. 96. 303600. 97. 78. 98. 10. 99. 4⁷. 118. . 119. 10. 120. . 121. .

122. а) ; б) 1; в) .

123. а) 0,(428571); b) 0,035; c) 0,0304; d) 0,(571428); e) .

124. Q; R; ; [-1; 6]; ; .

125. ; 7; -1 .

126. 1) (0; 8]; 2) (-4; 11); 3) (0; 9); 4) (-4; 2)(0; 11); 5) .

127. AB={15t+2tN}, AC={–6t+5tN},

ABC={30t+17tN}, ABC={15t+2tN}{2n+1nN}.

128. ; ; ; ; ; .

129. 1) ; 2) ; 3) ; 4)7; 5)4; 6)3.

139. 13 = 1101₂ = 16₇ = 15₈; 50 = 110010₂ = 101₇ = 62₈.

140. 10110110₂ = 182; .

141. 441₇ = 225; .

143. 1) ; 3) 49204₁₂ .

145. А и В, D и Е.

146. Все.

148. а), б) – континуум.

150. Используйте метод, которым решена предыдущая задача.

153. х = (b  а)t + а.

155. а) Каждой точке окружности поставим в соответствие численное значение угла, образованного радиус-вектором этой точки с некоторым фиксированным радиусом.

б) Искомая биекция является композицией трех отображений: 1) отображения, построенного в задаче а), 2) линейного отображения промежутка [0, 2) на промежуток [0, 1) и 3) отображения промежутка [0, 1) на отрезок [0, 1], которое строится также, как отображение задачи 4.11.

158. 53,2%. 159. 32,8. 160. 232. 161. 14474901. 162. 37186. 168. 81%. 171. 30. 173. %. 174. 900%. 175. 90. 176. 300. 177. 230 млн. руб.. 178. 5084,21р. 179. 3%. 182. 874,18. 183. S(t)= S(0) , t=1, 2, 3,…. 184. 4. 186. 25%. 188. 21%. 189. а) увеличится на 50 %; б) уменьшится на 4 %. 190. увеличится на 38,24 %. 191. уменьшится на 1 %. 192. 7%. 193. 10%. 194. 10%. 195. 25%. 196. 25%. 197. 9800 руб.. 198. 576. 199. 40 л. 200. 38,5%. 201. 49,6%. 203. 50%. 204. 25%. 5205. 30%. 206. 40%. 207. 25%. 208. 20%. 209. 25%. 212. 8,75%. 213. 17 100, 11 400 руб. 214. 2 млн 400 тыс. руб. и 3 млн. 600 тыс. руб.