§ 3. Критерии для дисперсий

Критерий равенства дисперсии генеральной совокупности определенному значению. Часто для выявления характера изменения признака в генеральной совокупности необходимо оценить не только среднее значение этого признака, но и степень его рассеяния или дисперсию на основании выборочных данных.

Пример 5. Вернемся к примеру о величине оброка в черноземной полосе в конце XVIII в. Допустим, что по результатам других исследователей принято считать _г.с.=1,2 руб. Верно ли это? В качестве оценки значения  в генеральной совокупности по выборочным данным получена величина S. Известно, что S= 1,7 руб.

1) Проверим гипотезу о том, что различие между _ГС и S вызвано случайными причинами, т.е., что числовое значение среднего квадратического отклонения признака (оброк) в генеральной совокупности равно 1,2 руб.:

Н₀:_гс = 1,2.

2) В качестве статистической характеристики используется величина , где k — число степеней свободы (k=n—1); S — оценка среднего квадратичного отклонения, полученная по упоминавшейся ранее формуле. Распределение этой величины при построении графика функции называется распределением «хи квадрат». Оно подчинено и зависит только от количества степеней свободы k. Основная формула этой величины . То есть, абсолютная величина это показателя зависит только от количества вариант в вариационном ряду. Эта функция табулирована в таблицах, которые обычно называются «Критические точки распределения ²».

3) Найдем фактическое значение статистической характеристики:

4) Выберем уровень значимости а, например а=0,1.

5) По таблице критических точек распределения хи квадрат для а = 0,1 и k=15 найдем критическую точку=22,3.

Заметим, что в таблице X² даны значения, соответствующие односторонней проверке, т.е. противоречащими нашей гипотезе считаются слишком большие значения характеристики (большие Х²_Кр). Так как фактическая величина хи квадрат больше критической точки, то мы не можем считать, что наша выборка получена из генеральной совокупности со значением среднего квадратического отклонения, равным 1,2 руб.

В случае больших выборок распределение X² приближается к нормальному. Если k>30, то в качестве статистической характеристики можно использовать величину t , которая подчинена нормальному распределению. Пользуясь таблицей значений функции Лапласа, можно получить t_кр, откуда .

Критерий равенства двух дисперсий. Вернемся опять к нашему примеру. Нам были известны значения средних двух выборок, х₁ и х₂. Требовалось проверить гипотезу том, что в генеральных совокупностях средние равны (Х_1гс = X_2гс). При этом использовалось существенное предположение о равенстве генеральных дисперсий (₁² = ₂²). Это предположение можно проверить, используя оценки генеральных дисперсий S₁² и S₂², полученные по вышеупомянутой формуле.

Если взять отношение, то видно, что для хорошего согласования с гипотезой о равенстве дисперсий это отношение не должно быть очень большим или очень малым. Величина S₁²/S₂² называется дисперсионным отношением и обозначается F. Она имеет так называемое F-распределение с k₁ и k ₂ степенями свободы (k₁ = n₁—1, k₂=n₂—1). Это распределение называется распределением Фишера – Снедекора. Оно табулировано под названием «Критические точки распределения F Фишера – Снедекора». Обычно таблицы составлены для вероятностей а=0,05 и 0,01, где по горизонтали и по вертикали даны степени свободы первой и второй выборок.

1) Таким образом, испытуемой гипотезой является гипотеза о равенстве генеральных дисперсий: Н₀: ₁² = ₂².

2) Статистической характеристикой является дисперсионное отношение F:

F= S₁²/S₂², где S₁ и S₂ подсчитываются для выборок по соответствующей формуле.

3) Находим фактическое значение F= (1,7)²/(1,26)²1,8

4) Выберем в качестве а значение 0,05.

5) Пользуясь таблицей критических точек распределения Фишера – Снедекора для а=0,05, k₁ = k₂=15, найдем F_кр=2,40.

Заметим, что для использования таблицами критических точек для этого распределения в качестве S₁ надо брать большее из двух значений S, тогда F всегда больше 1.

Так как F=1 дает наилучшее соответствие испытуемой гипотезе (мы предположили, что дисперсии двух выборок равны), то гипотеза будет отклоняться, если F сильно превосходит 1, а это соответствует односторонней проверке. Таким образом, в данном случае наш критерий является односторонним, и критическую область образуют значения F, превышающие F_кр.

6) Сравнивая F_ф с F_KP, видим, что F_ф меньше F_KP, то есть попадает в область допустимых значений, и на уровне значимости 0,05 гипотеза не отклоняется.

Ограничения при использовании критериев для дисперсий. При использовании в проверке статистических гипотез распределений X² и F необходимо учитывать следующие требования: 1) независимость выборочных значений X_i, 2) нормальность распределения признака в генеральной совокупности.

КОРРЕЛЯЦИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ И КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ